iClaymore「“二重列”距離化定理とその応用」

y. @waidotto

コンセプト:定理がたくさん証明される #kansaimath407

V-alg-d（ZZ） @alg_d

距離化のプロ→ @iClaymore #kansaimath #kansaimath407

りとそん @ritosonn

みんな大教室にいるとおもって小さいほうの教室に来たらtweetdeckマンが最前列にたくさんいる… #kansaimath #kansaimath407

V-alg-d（ZZ） @alg_d

将軍「今回のコンセプトは、定理がたくさん証明されます!」 #kansaimath #kansaimath407

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アンケートに印象深い定理を書いて集計する #kansaimath #kansaimath407

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空間はT_1とする #kansaimath #kansaimath407

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近傍は開とは限らない #kansaimath #kansaimath407

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ωは非負整数の集合、\mathbb{Z}^+ は正整数の集合 #kansaimath #kansaimath407

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

近傍は開と限らないぶな #kansaimath407

y. @waidotto

約束:空間はT_1(1点は閉)，近傍といったときは開とは限らない，ω={0,1,2,…}，ℤ^+=ω∖{0} #kansaimath407

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X: 集合, u, v∈PPX A⊂Xのuに関する星とはu(A) := ∪{ U∈u | U∩A≠0 } #kansaimath #kansaimath407

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u({x})を単にu(x)とかく #kansaimath #kansaimath407

y. @waidotto

Def: X:集合，𝕌,𝕍∊2^2^X，A⊂Xの𝕌に関する星とは，𝕌(A):=⋃{U∊𝕌:U∩A≠∅}のこととし，𝕌({x})=𝕌(x)と書く． #kansaimath407

y. @waidotto

𝕍が𝕌の細分であるとは，∀V∊𝕍∃U∊𝕌 V⊂Uとなることであり，U≻Vと書く． #kansaimath407

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vがuの細分(u>vと書く) ⇔ ∀V∈v, ∃U∈u, V⊂U #kansaimath #kansaimath407

y. @waidotto

𝕌∧𝕍={U∩V:U∊𝕌,V∊𝕍} #kansaimath407

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u∧v := { U∩V | U∈u, V∈v } #kansaimath #kansaimath407

y. @waidotto

Thm(Alexandroff-Urysohn;Frink)(T_1)空間Xについて次は同値:(0)Xは距離化可能 #kansaimath407

y. @waidotto

@waidotto (1)被覆の列{𝕌_n}_nであって，各x∊Xに対し{𝕌_n(x)}_nがxにおける近傍基をなし，U,U'∊𝕌_{n+1},U∩U'≠∅とすると∃U''∊𝕌_n, U∪U'⊂U''

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【定理】空間Xについて次は同値 (0) Xは距離化可能 #kansaimath #kansaimath407

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(1) 被覆の列 { v_n }_n であって，各x∈Xに対して { v_n(x) }_n が x における近傍基をなし， V, V'∈v_{n+1}, V∩V'≠0 とすると ∃V''∈v_n, V∪V'⊂V'' #kansaimath #kansaimath407

y. @waidotto

@waidotto (2)各x∊Xは次のような近傍基(V_n(x))_nをもつ (i)i,j∊ℤ^+ i<j⟹V_i(x)⊃V_j(x) (ii)∀x∊X∀i∊ℤ^+∃j(x,i)>i V_j(x,i)(x)∩V_j(x,i)(y)≠∅⟹V_j(x,i)(y)⊂V_j(x)

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(2) 各x∈Xは次のような近傍基(v_n(x))_nをもつ (i) i, j∈Z^+でi<jならばv_i(x)⊃v_j(x) (続く) #kansaimath #kansaimath407

V-alg-d（ZZ） @alg_d

(ii) ∀x∈X, ∀i∈Z^+, ∃j(x, i)>i, v_{j(x, i)}(x)∩v_{j(x, i)}(z) ≠ 0 ならば v_{j(x, i)}(z) ⊂ v_i(x) #kansaimath #kansaimath407