相転移P（@phase_tr）による「量子力学を理解するために斎藤正彦『線型代数入門』を読む人が注目すべき点」

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#qmstd http://amzn.to/hHU8q7について見るべき所を挙げておきたい．まずp120からが決定的に重要．例3で関数空間（多項式空間）に内積を叩き込んでいる．量子力学で出てくる線型空間は原則関数空間なので，正にここを使う．ヒルベルトとか鬱陶しいのはひとまずいい

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#qmstd p122例5：ルジャンドル多項式．多項式空間での基底としてのルジャンドルを出してきている．関数のノルム（ベクトルの「長さ」）も出している．ルジャンドルは電磁気でも出てくる．マクスウェルは電磁場の「線型」方程式なので上手くはまってくれる

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#qmstd p126例7，有限フーリエ級数．フーリエは知っていると仮定するが，正にフーリエが線型代数の枠内で議論出来る（部分もある）事を明示している．三角関数が（適当な内積空間での）「正規直交基底」になる．これは高校の教科書にも計算問題としては書いてある

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#qmstd 問題7．これは量子統計で使う．（平衡）状態はオブザーバブルAに対して適当な複素数を返す関数だが，これは必ず（密度）行列を使ってトレースで書けることを言っている．ただしうるさいことを言うと原則有限次元でしか使えないので，物理としては役に立たないと言い切ってもいいのだが

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#qmstd p128問題8：ある種の変分とか何とか．問題10，色々な内積とラゲール多項式：他にもこの系で電磁気・量子力学で出てくる「～多項式」が再現される．問題12，双対空間：初学者にとって直接どうというのが言いづらいが，少し進んだ話をするとそれなりに使うはず．数学としては大事

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#qmstd 第5章：量子力学の魂．p137例8，数列空間：数列も線型代数の枠内で議論できる（部分がある）ということ．p138例9．線型常微分方程式．先程から電磁気などそれっぽいのを挙げているが，微分方程式論を応用先に持つことがここではっきりと分かる

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#qmstd p144：スペクトル分解．要するに対角化だが，スペクトル分解は無限次元化出来て量子力学で直接使える．射影の値域がその固有値の固有空間で，縮退度が固有空間の次元に対応したりとか何とか

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#qmstd 定理2.10：行列の極分解．量子力学的な解釈としては行列は大体複素数と思える．複素数ならば極形式で表現出来るか考えたくなるのが人情らしいのでそれをやってみた．定理2.11：変分原理．量子力学で基底エネルギーを評価するときに使う

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#qmstd 第7章．行列の関数を定義するという荒業．ハミルトニアンをHとすると，その系の時間発展はU_t=e^{itH}となる．ここで行列の指数関数が出てくる．あと量子光学でコヒーレンス扱うときもこの辺が出てくる．

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#qmstd 量子力学ではより激しく微分作用素の指数関数も出てくる：運動量作用素をp=-id/dxとしてe^{itp}が出てくる．この場合，数学的に正確な定義は面倒だが，とりあえず指数のテイラー展開に直接代入で「納得」されたい．ついでに言うとこれは本当にテイラー展開になる

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#qmstd p217，ペロン・フロベニウスの定理．正確に言うと別のバージョンだが，固体物性，磁性のモデルで使うハバードモデルの「研究」で本当に使う．詳しくは田崎さんのhttp://bit.ly/368vRyを参考にされたい．Googleのページランクでも使う定理で応用は広い