朝の稠密な数学 TL
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石塚
@Yusuke_Ishizuka
「位相空間Xの部分集合をAとするとき、Aの閉包がXに等しいならば、AはXにおいて稠密であるという」という定義のもとではX自身はつねに閉集合だからXはXにおいて稠密…？
2011-03-30 07:52:17
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
※「Xが第二可算公理を満たす⇔Xが可分である」は、距離空間においては成り立つが、一般の位相空間では⇒方向のみ成り立つ。 http://togetter.com/li/117775
2011-03-30 21:55:14
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka Ｒを位相空間と見たとき、部分集合Ｑについて稠密です。だから、位相空間の稠密は一般化になっています。
2011-03-30 08:05:29
石塚
@Yusuke_Ishizuka
@tsurunokaraage 有理数が稠密、というと「任意の二数の間にどちらとも異なる数がとれる」という認識ですね…難しいです
2011-03-30 08:07:56
あなちゃん
@anairetta
@Yusuke_Ishizuka とりあえず、Qの閉包がRと一致することは、 任意のRの元に対してそれに収束するQの列が存在することから言えます。 実はむしろこうなるようにRを定義する、というほうが正確です。
2011-03-30 08:20:20
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka まず、∀a,b∈R ∃p∈Q a＜c＜bから直ちに、∀c∈R ∀ε>0 ∃q∈Q s.t.|c-q|<ε が言えるのですが、よろしいでしょうか。
2011-03-30 08:21:50
石塚
@Yusuke_Ishizuka
言うことがぶれててすいません。私のいう有理数の稠密性というのは、「任意の実数a,b(a＜b)に対してある有理数qが存在してa＜q＜bを満たす」です
2011-03-30 08:30:03
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka よって、Rの任意の元は、部分集合Qの閉包にふくまれていることが言えますが、よろしいでしょうか。（ただし、Rを距離空間とみたときの、閉包です）
2011-03-30 08:32:36
石塚
@Yusuke_Ishizuka
@tsurunokaraage 実数cに対してcの任意の開近傍がQと空でない交わりを作るのでRはQの閉包、ですね。つまりQはRで稠密と
2011-03-30 08:38:06
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka 今、「Qの稠密性」⇒「Rを距離空間とした時に、RがQの（距離空間としての）閉包」が分かりました。一般に、Xを距離空間としたとき、Yの（距離空間としての）閉包である事と、Xをこの距離から入る位相空間と見たとき、の（位相空間としての）閉包である
2011-03-30 09:02:18
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka ことは等しいので、「Rを距離空間とした時に、RがQの（距離空間としての）閉包」⇒「Rを（この距離から入る）位相空間とみたとき、Qの（位相空間としての）閉包」が言え、言いたいことが言えました。
2011-03-30 09:00:51
石塚
@Yusuke_Ishizuka
アルキメデスの原理を使って証明します。アルキメデスの原理というのは、任意の実数A,B(B＞0)に対してある正整数nが存在してA＜nBを満たす、というものでした。これはワイエルシュトラスの公理ら既に証明されているとしましょう
2011-03-30 08:46:48
石塚
@Yusuke_Ishizuka
(実数a,b(a＜b)を適当に自然数倍(na,nb)すれば間に整数mが存在するようにできて(na＜m＜nb)1/n倍して元に戻せば主張が得られる(a＜m/n＜b)…という感じで……)
2011-03-30 09:34:08