まとめ
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■■■消化するのに5日間の間を置いて、ここから演習開始■■■
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第2回 「写像」 トリッ君がついてこれなくなった段階でやめちゃう位相空間への道。ほんとうは「距離空間」をやりたかったのだけど、「写像をやっとかないと困るんじゃね？」と天の声がしたので、第2回は写像の話です。 -
トリッ君の答えは出ましたが、いちおう前回の演習の解説から入ります。前回は集合について勉強しました。問題の選択肢のうち、イとクが正解です。
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イ:{0}⊂{0}について。左辺の元は0であり、右辺の元も0。左辺の元が全て右辺に含まれていますから、左辺は右辺の部分集合です。ちなみに、集合が等しいこと(X=Y)は、X⊂YかつY⊂Xで定義します。イもイコールの関係が成り立つわけですね。
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クについて。直カン的に例えると、集合はPCでいうフォルダー(ディレクトリ)、元はその中身と思えばよいでしょう。空集合φは、中身が空のフォルダー。{φ}は、「中身が空のフォルダーがひとつ入ったフォルダー」です。ほら、{φ}はφを元に持つでしょう？
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この「集合の集合」の考え方は、位相空間における位相の定義でとっても大事になるので、忘れないでね。
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はーい。RT @Tida_pandany: この「集合の集合」の考え方は、位相空間における位相の定義でとっても大事になるので、忘れないでね。 -
本題に戻ります。写像は、抽象的には集合から集合への対応を意味しますが、直カン的にはプログラムでいう「サブルーチン」。入力に対して出力を返すしくみだと思って聞いてください。
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では、写像の定義を。集合X, Yに対してfがXからYへの写像であるとは、任意のXの元をひとつ取り出してxとしたとき、f(x)がYの元としてただひとつ与えられていることをいいます。
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ここでは、Xを写像fの定義域、Yを写像fの値域といい、「f : X →Y」と表記することにします。(複数流儀はあるけどね)
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例:あみだくじの上端の点a,b,c,...を元にもつ集合をA, 下端の点α,β,γ,...を元にもつ集合をBとすると、あみだくじにより決まるAの元からBの元への対応を写像gと定義できます。gはAからBへの写像であり、g(a)=βとは、点aから点βにアミダしたということでしょう。
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@Tida_pandany おお、あみだくじは確かに。集合Xの任意の元xが集合Yの元ただひとつ、ひとつずつと残らず対応してる。
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例:サザエさん一家の人員を集めた集合をCとして、彼らの性別を対応させる写像をhとします。値域としてD={男, 女}とすれば、h:C→Dは写像の定義を満たします。こちらはあみだくじと違って,一対一対応ではありませんが、任意のCの元に対してひとつのDの元が対応しているからよいのです。
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例:サザエさんの例を続けます。D={男, 女}からサザエさんのめいめいへの写像を考えようとすると,Dの元(例えば男)から複数の元が対応してしまうので、写像の定義に反することになります。値域を{カツオ, ワカメ}に限定したり、ほかの人員をオカマだと見なせば写像の定義を満たすよ。
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例:数直線上の任意の値を実数といいます。実数全体の集合をR=(-∞, ∞)としたとき、一次関数 y = ax + bはRからRへの写像です。このように、値域が実数をとる写像のことを「関数」と呼ぶのです。高校までに出てきた関数は、みんな写像だったわけです。
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ここまでで写像の定義はわかったかな？ では、(1)身近な写像の例をひとつ挙げてみましょう。
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@Tida_pandany はいはーい！ 写像の例：あんパンを食べると、おなかがいっぱいになります。エロ本を買うと、お金がなくなります。面接をすると、陰鬱なやつは落っこちて、体育会系かつよいコネがあるかウソがじょうずな人はうかります！ -
@Tida_pandany 合コンはだめだね。夜の写像をしようとしても、向こうの集合に対応するものが何もないと宣告されることが、往々にしてあるらしいから。
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@Tida_pandany (1) 帳簿。P｛x｜支払いa, b, c, ...｝とQ｛y｜光熱費, 食費, 家賃, …, その他雑費｝（※ただし、分類に漏れる支払いはない｝は対応する。実際に表計算アプリで関数処理しており、計算がしっかり成立しているので、これも写像の一種。
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さて、ここから全射と単射の話をします。XからYへの写像fについて、fによって対応されるYの元全体の集合をfの像といい、f(X)と表します。f(X)=Yであるとき、fを全射であるといいます。
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いいんじゃないでしょうか。 RT @tricken: @Tida_pandany (1) 帳簿。P｛x｜支払いa, b, c, ...｝とQ｛y｜光熱費, 食費, 家賃, …, その他雑費｝（※ただし、分類に漏れる支払いはない｝は対応する。
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うるせえ！ RT @niboshi2000: @Tida_pandany はいはーい！ 写像の例：あんパンを食べると、おなかがいっぱいになります。エロ本を買うと、お金がなくなります。面接をすると、陰鬱なやつは落っこちて、体育会系かつよいコネがあるかウソがじょうずな人はうかります！
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合コン行ったことないくせにうまいことをいうね。 RT @niboshi2000: @Tida_pandany 合コンはだめだね。夜の写像をしようとしても、向こうの集合に対応するものが何もないと宣告されることが、往々にしてあるらしいから。
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全射の例。今までの例全部、全射なんですよねー。たとえばE={男、女、オカマ}として、CからEへの写像h'を考えると、オカマに対応するCの元はないので、この写像は全射ではない。また、像はh'(C)={男、女}となります。いささか性差別的な例でペコリーノ。
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単射の定義は、任意の異なるXの元をx, x*としたとき、f(x)≠f(x*)となることです。また、f(x)=f(x*)ならばx=x*が成り立つとき、写像fは単射であるとも言うことができます。対偶ってやつやね。
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