@alg_d 非可算無限程度なら.作用素環で大事なGNS構成定理というのがありますが,これは作用素環上の有界線型汎関数のkernelみたいなのからヒルベルト空間などを作る定理です.このkernelみたいなのが大雑把に線型汎関数の分だけあります
2012-01-08 14:30:46@alg_d 最近ヒッグスなどで自発的対称性の破れというのが取り沙汰されていますが,ここでは非可算無限個(例えばU(1)くらい)の線型汎関数を重ね合わせて線型汎関数を1つ作ったりします.物理の実用上どうしても必要です
2012-01-08 14:37:14@alg_d 直和の代わりに直積分とか使いますが,気持ちの上では大したことはしません.めんどいのはテクニカルな部分だけだと見ています
2012-01-08 14:42:28@alg_d von Neumann が導入したというように書いてありますが,実際にvon Neumann環の分類では環を直積分分解して簡単な所に還元します.特に中心が自明な環(歴史的に因子,factorと呼ぶ)に落とし込むのでfactorの解析が大事です.物理でもこれが出ます
2012-01-08 14:55:04ちなみに今やっている所でも定ファイバー直積分を日常的に使っている.非相対論的QED(量子電気力学の方だ)で使うヒルベルト空間自体が直積分で書かれている(書ける)ので,大体全部直積分になる
2012-01-08 14:58:56@life_wont_wait 強磁性を考えます.理論的には磁化の方向はどこを向いていても構わないのでSO(3)だけの自由度があります.SO(3)の分だけ基底状態がありますが,これの重ね合わせもまた基底状態になります.重ね合わせを数学的に書くと直積分になるというだけです
2012-01-08 15:08:54@life_wont_wait 規格化したいので正確には凸結合ですし,ベクトルだけでなく,汎関数,空間,演算子全て直積分で書くことになりますが大体そんな感じです
2012-01-08 15:16:57@life_wont_wait 数学的にきちんとやりたいならもちろん必要ですが,そんなものはどうでもいいでしょう.対称性の群が連続群だから連続にして,それで積分になったというだけです.うるさいことを言う人には「数学やりたければ数学科に行け」と言っておいてください
2012-01-08 15:23:00