「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」（togetter後）
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aokomoriuta
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問題と全体のまとめ
「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」
思った以上に沢山の人達から解答をもらったので、せっかくなのでまとめてみました。
みなさんからの解答の中にもありますが、これはもともと「半円を無限に分割したら」というパラドックスから着想を得たものです。
とあるところで話題に出したら大いに盛り上がったのでせっかくなので分かりやすい解答を求めて投げてみた結果です。
みなさまご協力ありがとうございました。
※予想以上にたくさん解答をもらったのでまとめ遅れてます。しばらくしたらちゃんと反映する予定なのでお待ちください。(3/3T19:30JST)
86219 pv
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Togetter後に
keno
@keno1728
@keno1728 いや, A = B_\inftyになるでしょ. 僕も最初ならないと思ったけど, 実は問題はそこじゃないんだな. こういうのは直感をきっちり言葉に表してやればよい. まず, 曲線とは何か. ここで曲線とは閉区間[0,1]からR^2への連続写像のことであるとする.
2012-03-02 22:54:23
keno
@keno1728
@keno1728 話を簡単にするために, nは1以上の自然数とする. (B_0は考えない.) 連続写像 B_n : [0,1] -> R^2 を図(http://t.co/F3wqABfu)の様に対角線とn+1個の交点を持つように定める.
2012-03-02 22:59:28
keno
@keno1728
@keno1728 B_\inftyはどう定義するか? 直感に従って, 各点 x \in [0,1] に対して B_\infty(x) = \lim_{n \to \infty} B_n(x) で定義しよう. Aは[0,1]から対角線への射影と定義する.
2012-03-02 23:03:41
keno
@keno1728
@keno1728 こうすると容易に A = B_\infty が示せる. さて, B_nは"距離を保つ写像"であるが, B_\inftyは"距離を保たない写像", 特にAは"1/\sqrt{2}倍する写像"である.
2012-03-02 23:07:36
keno
@keno1728
@keno1728 つまり, この「\sqrt{2} = 2」は「n -> \infty にしたときにこの性質(isometry)が保たれる」という(実際には成立しない)直感を突いたパラドックスである.
2012-03-02 23:10:30
keno
@keno1728
@keno1728 訂正. 誤り:「ここで曲線とは閉区間[0,1]からR^2への連続写像のことであるとする.」 正しくは:「ここで曲線とは閉区間[0,1]からR^2への連続写像で(0,1)上単射なもののことであるとする.」 まぁ今までの説明では別にいいんだけども,この後の説明で.
2012-03-02 23:13:53
keno
@keno1728
@keno1728 「長さを保つ(isometry)」でなくとも「曲線である」という性質自体, 極限をとると駄目な場合が簡単に作れる. c_r : [0,1] -> R^2を半径rの円周とすると, r -> \inftyとしたときに曲線でなくなる. 特にisometryでない.
2012-03-02 23:17:05
keno
@keno1728
@keno1728 http://t.co/F3wqABfuでは(恐らく数学に通じてない為に)「AとB_\inftyは一致しない」「B_\inftyはフラクタル」ということを論拠にしている人が多数なのだが, そういう人たちには「B_\inftyはどう定義するのですか」と言いたい
2012-03-02 23:28:25
keno
@keno1728
@keno1728 B_\inftyはフラクタルであろうはずがないのである. なぜなら, 全ての2^n等分点ではA上にあるということは誰でも正しいと認めるところだろうが, B_\inftyが連続なので A = B_\infty が従う. ([0,1]で2^n等分点はdense.)
2012-03-02 23:38:10
青子守歌
@aokomoriuta
何故かこういう解答ばかり集まりました・・・。実は測度論的な話を期待したのですが。。 QT @t_uda: おい誰か数学的にまともなコメントをしたやつはいないのか http://t.co/T7MZK0FA
2012-03-02 23:46:35
@jiu0410
「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」 http://t.co/ukAhKE2t 折れ線は折れ線であって直線になんないやろとか思ってたら実際そういう結論に至ってた
2012-03-02 23:59:38
ねむたいゆら
@tatutahime
数学が分からない自分が直感で答えると、曲がったら線分じゃないから、段差が無限になって見た目がそっくりになっても、決定的な部分で違う。 http://t.co/iyNn8S8y
2012-03-02 23:59:52
Yuyu
@yuyu_de_gozaru
@aokomoriuta 測度論的な解答はできないので申し訳ないんですが……lim取るのと掛け算って交換できないのではないでしょうか．素朴に階段をたどる順に長さを計算すると，{lim(1/2^n)} × {lim 2^n}になってしまいますが，これって計算できない気がします．
2012-03-03 00:01:40
青子守歌
@aokomoriuta
@yuyu_de_gozaru それはちょっと無理ですね。 lim {(1/x)x} = (lim 1/x)(lim x)とはならないので。
2012-03-03 00:03:16
Yuyu
@yuyu_de_gozaru
@aokomoriuta ですよね．と，いうことは，図中のB-∞の計算式がlim((1/2^n)2^(n+1))と書けない(実際は{lim(1/2^n)}{lim2^(n+1)})ので，「B-∞に相当する図形の長さが適切にまだ定義されていない」が1つの解答にならないでしょうか．
2012-03-03 00:07:14
青子守歌
@aokomoriuta
@yuyu_de_gozaru それは単に表式の1つなのでちょっと数式いじりに走ってるような気がします・・・。lim Σ 1/2^nと書いたらその論法はうまく適用できないのでは？
2012-03-03 00:10:54
Yuyu
@yuyu_de_gozaru
@aokomoriuta あれ，そうでしょうか．limと和も交換できないので，lim Σ 1/2^n も書けないんじゃないですか？ B-∞の本来の意味は，長さ1/2^∞の水平線と垂直線を合計で2^(∞+1)本足すってことなので，limが先だと思うのですが．
2012-03-03 00:14:15
ところてん
@tokoroten
@aokomoriuta これは人間の目に見える収束と、数学的な収束が一致しないだけの話のような。 矛盾でもなんでもなく、人間が勘違いしているだけ。 説得するには海岸線の長さ問題にでも帰着させりゃいいんじゃないかなぁ。
2012-03-03 00:31:11
@ukikagi
曲線間にうまく(距離|位相)を入れられればA=B_∞は成り立つと思うけど、lim[n→∞](B_nの長さ)≠(A_nの長さ)は成り立たないのだろう。でも曲線間の距離ってどう定義するんだろう。 http://t.co/ip9qTGiV
2012-03-03 00:52:14
Koji Saito
@KojiSaito
この手のモノって可算無限と非可算無限との違いでいけるんじゃない？(^^) アキレスと亀とも似てる気も。／@aokomoriutaさんの「「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」」 http://t.co/D6j7Nqmu
2012-03-03 00:56:30