量子力学における近似計算としての摂動論が抱える原理的問題

しゃぶしゃぶうさぎ @wr_r

ちなみに物理してると「収束するかの難しい問題はおいといて」的な文言と共に作用素の級数が出てくることとかありますね

相転移P @phasetr

@wr_r やや別件ですが、作用素級数とか収束以前に摂動が原理的にまずいということがあります

しゃぶしゃぶうさぎ @wr_r

@phasetr そうなんですか！どういった問題があるのですか？

相転移P @phasetr

@wr_r H=-△+αVでαが小さいときに摂動展開する，という状況でエネルギー（固有値）の振る舞いが大きな問題になります．V_1=x^2，V_2=-r^{-1}としましょう．もちろん調和振動子と水素原子に対応するハミルトニアンです

相転移P @phasetr

@wr_r 固有値（スペクトル），固有関数ともに厳密解が分かっているわけですが，いくらαが小さかろうと，測定値であるエネルギーに対応する固有値の振る舞いがこの2つで決定的に違います．もっというならα=0のときとも全く違います．調和振動子などは連続スペクトルが全て消えてしまうという

相転移P @phasetr

@wr_r 基底エネルギーのずれくらいならそこそこ値が合うはずですが，元々のスペクトル自体が激変しているので，あまり適当なことをすると問題になりえます

相転移P @phasetr

@wr_r 応用上も大事なレーザーでも問題があります．ラムシフトが起きますが，物理的に言って励起状態は準安定状態に遷移して欲しいわけで，数学的には「摂動前の固有値に対応するものは固有値でなくなる」という現象が起きて欲しい

相転移P @phasetr

@wr_r ただし摂動論だと「摂動前の固有値は摂動では少しずれた値の固有値になる」と思って計算するので，ここでも原理的な問題が起きます．学部3年の量子力学でやったと思いますが，実際にはここで手で虚軸方向へのずれを入れることで回避します

相転移P @phasetr

@phasetr この間http://t.co/p2q6OTIMで「数学的に細かいことは気にするな．最早数学徒しては研究レベルの問題だから」と書きましたが，今本当にこの辺の数理物理の研究が進行中です