Inner model theory seminar.

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

今日は inner model theory seminar → その後セミナーのみんなで飲む→酔っ払う→帰宅なう。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

セミナーでやっていることについてつぶやいてみようと思う。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

今期やっているのは，determinacy のモデルでの HOD を inner model を使って分析しようという話。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

ZFC での HOD って forcing でいくらでも変えられちゃう。例えば，class forcing でいつでも V = HOD が force できちゃう。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

というわけで，全然 rigid じゃないわけで，とてもいじりづらい。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

一方で，determinacy model での HOD はかなりきれいな構造があって，現在わかっている範囲では，HOD = ある mouse + (その mouse の iteration strategy の fragment) となってる。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

さらに，右辺の mouse は，determinacy model に対応する canonical な mouse から induce された directed system の direct limit になっている。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

こういう構造をいじることによって，determinacy model の HOD についていろんなことがわかる。例えば HOD で GCH が成り立つとか。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

今セミナーでやってるのは，Delta^1_2-determinacy の model とその中での HOD について。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

このまえもつぶやいたけど，Delta^1_2-determinacy があると，a Turing cone of x に対して，(L[x[, \in) の theory が constant になって，そこでも Delta^1_2-determinacy が成り立つ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

L[x[ → L[x].

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

じゃあ，そういう x について，L[x] での HOD ってどうなってるんだろう？

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

今のところこれは open problem. Conjecture はあるけど正しいかどうかわかってない。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

その代わりに Woodin が証明したのは，κ_x を L[x] の least inaccessible とし，G を Coll (omega, <κ_x)-generic over L[x] としたとき，L[x,G] での HOD が以下の意味で表現できるということ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

M_1 を， Woodin cardinal を一つ持つ proper class mouse で mouse order について minimal なものとする。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

このとき，a Turing cone of x に対していかが成り立つ：

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

いか → 以下

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

L[x,G] 内で，M_1 からの iterate M_{infty} とその iteration strategy の fragment Gamma が存在して，HOD^{L[x,G]} = L[M_{infty}, Gamma] となる。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

本当は，M_{infty} と Gamma の様子についてもっといろんな情報が得られるんだけど，twitter で記述するにはちょっと限界が…。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

今日はこの statement の証明が終わったところ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

そもそも，何で determinacy model の HOD に興味があるかというと，M が AD+ のモデルで V = L(P(R)) を満たすとき，HOD^M から M の first-order theory が復元できるから。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

HOD^M は M の中でかなりでかいわけです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

現在，巨大基数から determinacy の model を作る一般的な手法が知られていて，できた determinacy の model がそのくらい large cardinal property を保存しているかというのが大きな問題になってますが，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

そのくらい→どのくらい

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

一つの有力なアプローチは，得られた determinacy の model の HOD を分析して，そこにどういう mouse があるかを調べる，というものです。