【数学】「２の冪」と「素数」がなんとなく正反対って感じがするのはなんで？

鯵坂もっちょ🐟『つれづれなる数学日記』発売中 @motcho_tw

はぁー女児

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素数と２の冪乗ってどっかの分野では正反対扱いになってたりしそう

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かたやどの数の組み合わせでも互いに素、かたやどの数の組み合わせでも最大公約数が２だからな

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でもそれだけでは２の冪乗である意味がないな

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最大公約数？？？

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２の冪乗はどの数の組み合わせでも○○

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かたや共通の約数を持たない、かたや共通の約数しか持たない、かな？

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いやー違うなー

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なんとか「素数」と「２の冪乗」を正反対の言い方で表せないかって話

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そんな分野はないでFA

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「どの組み合わせも共通の素因数を持たない」と「どの組み合わせも共通の素因数しか持たない」だったら「偶数番目の素数」と「３の冪」でもいいわけで

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まぁいいかこのへんで。「共通の素因数を持たない」と「共通の素因数しか持たない」っていう関係性だけでけっこう面白いから

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見つけた。 「すべての自然数は２の冪の和で表せる」「すべての自然数は素数の積で表せる」

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これがあったからなんとなく正反対な気がしてたんだろーな。多分。

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まぁゲンミツには和の方はそれぞれ異なる２の冪である必要があるのに対して、素数は同じのを使ってもいいし、１は素数じゃないから積の方は「n≧2のすべての自然数は〜」なんだけど。

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しかもこれならちゃんと「２の冪」と「素数」のことだけについて言えてる。「３の冪」や「偶数番目の素数」では和や積で全ての自然数を表現できない。やったね２の冪ちゃん！

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１を除いて素因数分解して書くと、15=3*5,16=2^4,17=17,18=2*3^2,19=19,20=2^2*5…っつーことで右辺に数字が一種類しかないやつが素数だ。

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13=2^0+2^2+2^3ってのを13→{0,2,3}って書くと、15→{0,1,2,3},16→{4},17→{0,4},18→{1,4},19→{0,1,4},20→{2,4}っつーことで右辺に数字が一種類しかないやつが２の冪だ。こんなとこにも正反対っぽさが現れた。

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例えば適当に選んだ数字1428は積だと2^2*3*7*17、和だと{2,4,7,8,10}っていう二通りの表し方ができて、数字の組み合わせ同士のペアができたわけだけど、こっから先これをどういじれば面白くなるかちょっと今んとこ思い浮かばない。

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和はそれぞれ異なる必要があるけど積はかぶってもいいってのがクセものなんだよなぁ　全ての自然数をそれぞれ異なる数の積で表す方法ってないのか

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２の冪の方にカブリを認めると、全部１の和で表せばよくなっちゃう。 素数の方にカブリを認めないと、平方因子を持たない数しか表現できなくなっちゃう。