数学:集合論と選択公理

Shinji Kono @shinji_kono

特に数学だけど、今の集合論偏重は良くない。選択公理は記号論理的要求だけど、それなしでもかなりのことが出来るわけだから、無しで早めに教えられることは多い。εδに関しても、それが必要な精密な議論の前に出来ることが沢山ある。

Shinji Kono @shinji_kono

中学の頃に「円の接線は直径に直交する」ってので「接線って何?」ってのが問題になって「円上の二点を通る直線の二点を近づける」ってのを教える時間があったり、物理教師がΔxを躊躇なく、εδ抜きで教えるって方が絶対良い。それを妨げているのが指導要項。

Shinji Kono @shinji_kono

もっとも、自分で勉強した頃からは遠いので、今から、そういう教科書を書くってのは出来ないかも。きっと、岩波の数学見たいなものを書いてしまう。あれは理解した人がふんふんとか言って読むもの。最初に読むものとは違う。

@patho_logic

選択公理が記号論理的要求？ QT @shinji_kono: 特に数学だけど、今の集合論偏重は良くない。選択公理は記号論理的要求だけど、それなしでもかなりのことが出来るわけだから、無しで早めに教えられることは多い。εδに関しても、それが必要な精密な議論の前に出来ることが沢山ある。

@patho_logic

集合論は教育上それほど不必要，という発言をみると逆数学的な観点から反論したくなる．が，肝心の逆数学の知識がいい加減なので大したことが言えない．

@patho_logic

でも，教育上　「かつ，または，否定」をちょっと組み合わせるだけでも集合論の素朴な知識は必要なんじゃないか？

Ü+1F980🦀 @ranha

他の大学は知りませんけど、うちの大学で少なくともうちの学科(正しくは学類ですが)は集合論を扱った記憶ないですし、少なくとも選択公理とかはやらないんじゃないでしょうか？ #proofparty [http://atnd.org/events/2989]

Takayuki Kihara @tri_iro

数学教育として、集合論偏重で選択公理なんか扱ったりするような所って数学科以外にあるのかな。数学科だったらいつかは集合論や選択公理に立ち入らなくてはならないわけで、自分が受けた教育だと早すぎもせず遅すぎもせず結構良いタイミングでその段階に入ってくれたけれども。

Shinji Kono @shinji_kono

僕は、選択公理の直観的な正しさは認識出来てなくて、たぶん、単純に信じてない。それをそんなにおかしいとも思ってない。でも、無限集合を整合的に作る記号的に許されている手法だと言うのは理解してます。

anb @anbyk

@tri_iro 数学専攻以外で選択公理を特別に扱う必要性はないと思う。数学専攻では扱われているが、うまく扱うのは難しいと思う。例えば、私が学部一年生の時受けた講義で「選択公理はZornの補題と同値」と説明されたが、ワケワカランとしか思わなかった。

Takayuki Kihara @tri_iro

@anbyk 確かに選択公理が必要となる基礎的定理に気を掛けるのは数学くらいなので、数学以外の分野ではしっかり学ぶ必要はあまり無いと思います。単純に選択公理はさておき集合論とかちゃんと教える所って数学専攻以外にあるのかなーという素朴な疑問でした。

@patho_logic

@shinji_kono 選択公理が必要になるのはベクトル空間の基底の存在，極大イデアルの存在とか集合のある種の存在を証明するときに必要なもので記号論理的要求（どういう意味？）ではないかと．

Takayuki Kihara @tri_iro

個人的には選択公理が真かどうかと訊かれても答えづらいけど、一見整合的で自然っぽい思考的操作でありながら、選択公理は途方も無い超越性を生んでくれて、その超越性がどの程度のものなのか解析するのが面白い、という意味で選択公理は好き。

Takayuki Kihara @tri_iro

超越的すぎて認めがたいという感覚も無いことは無いけど、どういう思考的な操作が超越性を生み出し得るかに関する興味深さの方が強かったりなんかして。

MarriageTheorem @MarriageTheorem

RT @tri_iro: 個人的には選択公理が真かどうかと訊かれても答えづらいけど、一見整合的で自然っぽい思考的操作でありながら、選択公理は途方も無い超越性を生んでくれて、その超越性がどの程度のものなのか解析するのが面白い、という意味で選択公理は好き。

Takayuki Kihara @tri_iro

まあ、フル選択公理にはあんまり興味ないけど。Σ^0_1選択は計算可能な操作で出来るので、計算可能な操作でギリギリ出来なくなるラインである「Π^0_1選択」を考察するのがマイブーム。

@patho_logic

@shinji_kono 「記号的に許されている手法」というのは選択公理を選択関数の解の存在を保証する公理として捉えているということなんでしょうか．その立場であれば「代数的に許される手法」というのが適当なのではないでしょうか．

H. Miyoshi (ALC2021 to be postponed, not online) @metaphusika

@shinji_kono 学部レベルの数学で選択公理が必要になるのは主に代数です．群論なんてツォルンの補題がないとお手上げ．それからもはやε―δ論法を1年の最初からきちんと教えているのは上位レベルの少数の大学だけです．数理系学科ですら中堅レベルでは最初からは無理．

Shinji Kono @shinji_kono

@patho_logic そういう言い方で問題ありません。でも、ずれていると感じてるんだと思う。

Shinji Kono @shinji_kono

@metaphusika 確かに、ここで選択公理が使われていると主張している群論の本はあります。でも、本当に必要かどうかは実はわかってないことが多い。連続群論ではさけられないが、ガロア理論では不要だと思う。僕は、線形論理でも不要だと思ってます。

加護天使 @a_kago

ないと不便、あると面倒、選択公理。どういう公理の形を採用するかで当然にも便宜的にもみえるのは、置換公理や基礎の公理と同じく感性の問題。

Shinji Kono @shinji_kono

Δxとかは、スコーレム関数だと思えば良い訳なんだけど、そう思わなくても、dx でも問題ないとわかっているわけなんだから、もっと、堂々と使って良い。むしろ、近似の概念は早いうちから必要なのだから、積極的に使うべき。

@patho_logic

@shinji_kono 選択公理が必要かどうか，という話題に関しては多くの研究があります．Jech の Axiom Choice とか．「本当に必要かどうかは実はわかってないことが多い」というのは言い過ぎでは．「一般に知られていない，知らない」というのならわかりますが．

H. Miyoshi (ALC2021 to be postponed, not online) @metaphusika

@shinji_kono 「実はわかっていない」の主語が分かりませんが，主要な結果では必要ですよ．どうも選択公理を連続性と結びつけて考えすぎなのでは？それに線型論理がなぜこの文脈で出てくるのかまったくわかりません．あれは単なる記号論理体系ですよ．背後にある哲学や意味論はともかく．

Shinji Kono @shinji_kono

選択公理が間違っているとは言わないが(それが成り立つモデルがあるのだから)、数学のかなり早い段階でそれが要求されるのが変。Δxみたいな、選択公理にかわる扱いやすい構文的工夫、存在関数がある気がする。おそらくは、選択公理とは厳密には等しくないような。