数学！

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

#数楽 @genkuroki そんなことは検索しなくていいので、大論文arxiv.org/abs/1512.08296 をみてください。いや、私もまだ見てませんが....

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#数楽 少し前に言及されていた正標数の代数群の表現論とqが1のベキ根での量子群の表現論の関係は、群が与えられる毎に、十分大きな素数について成り立つことは知られていました。ルスティックの予想は、もともとは、explicit な下からの評価だったので、

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#数楽 得られた評価を explicit なところまで下げてくる、というのは未解決問題でした。ところが、ウィリアムソンは、もともとの予想の仮定では反例があることを少し前に示し、皆をあっと言わせました。

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#数楽 十分大きな素数に対しては、指標公式は前に説明のあった量子群とアファイン・リー環の表現論を通じて、カジュダン・ルスティック多項式で書けたわけです。が、今度の論文では、新しく素数に依存するカジュダン・ルスティック多項式の類似を導入して、

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#数楽 それを使って、指標公式が書けるという予想を提出しているようです。というか、それは、前から分かっていたかもしれないが、その予想が自然に出てくるような圏論的な予想を定式化し、GLのときに証明しているようです。

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#数楽 十分大きな素数のときには、無限次元多様体の上のD-加群が、重要な役割を果たしたわけですが、今回は、無限次元多様体上の正標数の体を係数とするような構成可能層が背景にあるようです。標数0が係数体なら、リーマン・ヒルベルト対応でD-加群に対応するわけですが、

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

#数楽 正標数の体を係数とするときは、D加群を使うことができません。ウィリアムソンは、カジュダン・ルスティック予想のD-加群を使わない証明を与えて、世間をあっと言わせた人なので、今回の仕事も手法的にはそれに載っているのかもしれません。

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

#数楽 で、D-加群の代わりに何を使うかというと、「絵」での計算なんですよ、何と！コホモロジーを絵で計算するのは、当たり前と思われるかもしれないですが、空間を絵で書いてるのではなく、関係式が「絵」なのです。説明しても分かってもらう自信はありませんが.....

Hiraku Nakajima @hirakunakajima

#数楽 もとは、コバノフが始めた diagram calculus とかいわれる KLR 代数の定義に現れる手法です。