正方形や三角形への充填，レプタイルとしての直角二等辺三角形と白銀長方形の等価性

こなみひでお @konamih

この一連のツイートがおもしろい！タダで読ませてもらってもったいないほどだ。 twitter.com/Polyhedrondiar…

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

正方形の正方形への最密充填。 n=11で初めて45度以外の角度で傾いた正方形が出現するらしい。 "there is a small gap between these squares." www3.combinatorics.org/Surveys/ds7.ht… ow.ly/i/8jeli

2015-01-19 22:44:45

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

正方形の正方形への最密充填。 n=11で初めて45度以外の角度で傾いた正方形が出現するらしい。 "there is a small gap between these squares." www3.combinatorics.org/Surveys/ds7.ht… ow.ly/i/8jeli

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正方形への円の最密充填も詳しく調べられてる。 しかし図がもうちょっと先まで欲しいな。 n=30で初めてn=1の充填密度を上回るようだが載ってない…。 Circle packing in a square - Wikipedia en.m.wikipedia.org/wiki/Circle_pa…

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nが平方数なら当然碁盤目状の円配置が可能で，その充填密度はn=1と一致するが，n>=49ではこれより密な充填が可能。図で見たい… The best known packings of equal circles in a square hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/cs…

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こちらは円の円への最密充填。 外円と内円の比がn=6とn=7で同じになるのが意外と言えば意外だけど，n=7までは自明。最密充填形が解明されてるのはn<=13とn=19のみ。 Circle packing in a circle en.m.wikipedia.org/wiki/Circle_pa…

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正三角形への円の充填。 正方形への充填と違って，nが三角数のときの最密充填は全て判明している。正方格子が最密でないのに対して三角格子は最密だから。 Circle packing in an equilateral triangle en.m.wikipedia.org/wiki/Circle_pa…

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正三角形への円充填では，重要な予想があって，nが三角数-1のときと三角数のときで最密充填できる正三角形の大きさに差がないと考えられている。n=2,3，n=5,6，n=9,10，n=14,15では確かに成り立っている。 ow.ly/i/8k5zh

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直角二等辺三角形への円の充填。 nが21以下の三角数(n=1,3,6,10,15,21)では，正方格子状の配置が最密であることが証明されている。 Packomania packomania.com ow.ly/i/8kWKd

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nが28以上の三角数の場合は，正方格子よりももっと密に充填できる配置がある。 この点，正方形への円充填(平方数(四角数)が36以下か49以下で分かれる)と同様。 ow.ly/i/8kWuj twitter.com/Polyhedrondiar…

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三角数ではなくて四角数(平方数)のn=4,9でも正方格子状配置が最密充填になる。斜めの正方格子。 これ以外の平方数でも同様の配置は可能だが，最密にはならない。 ow.ly/i/8kXl1

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

このサイトも充実してる。 しかしほとんど自明に思えるn=2,3,4が96年に証明されたとか，自明ぽくないn=15,21がTrivialとかいうのはなぜ…？ Circles in Tans www2.stetson.edu/~efriedma/ciri… ow.ly/i/8kXLA

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正五角形への正三角形の充填なんてのも。 これ，n=1以外の最密性が証明されてないってのは驚き。n=2,5なんて簡単にできそうなものだが…。 Triangles in Pentagons www2.stetson.edu/~efriedma/trii… ow.ly/i/8kYpT

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そか，直角二等辺三角形って，8個でも9個でも相似な直角二等辺三角形が作れるのか。相似比が2√2:3だから。 先生が三角定規でやったら楽しいね。印象に残る授業に。 Tans in Tans www2.stetson.edu/~efriedma/tani… ow.ly/i/8kZs6

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ああ，これは直角二等辺三角形への円の充填n=9,10と対応してるんだ。真っ直ぐな正方格子と斜めの正方格子。 　　○ 　○○○ ○○○○○ ○ ○○ ○○○ ○○○○ ow.ly/i/8l0rG ow.ly/i/8kZs6

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直角二等辺三角形への円充填で，nが三角数又は四角数(n=3,4,6,9,10,15,16,21,25,28,36,45,49,55,64,66 …)のとき，正方格子状の円配置が可能で，その円の中心を結べば対応する直角二等辺三角形充填のタイリングが現れる，ということか。

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円が三角数k(k+1)/2個のとき，直角二等辺三角形がk^2個の場合 の最密充填に対応 円が四角数(k+1)^2個のとき，直角二等辺三角形が2*k^2個の場合の最密 充填に対応 k=2↓ ow.ly/i/8l0rG ow.ly/i/8kZs6

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36は三角数(8*9/2)かつ四角数(6^2)なので，二通りの配置が可能で二通りの三角 形充填に対応。円36個←→三角形2*5^2=50個，又は7^2=49個。 つまり，直角二等辺三角形は，49個でも50個でも相似な直角二等辺三角形をぴっ たり充填する。相似比は7:5√2。

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こんな感じ。36個の○をつなぐと上は49個の三角形，下は50個の三角形に ○ ○○ ○○○ ○○○○ ○○○○○ ○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○○ 　　　　　○ 　　　　○○○ 　　　○○○○○ 　　○○○○○○○ 　○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○

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一般に，直角二等辺三角形への直角二等辺三角形の充填率が百％になるのは，nが 平方数であるか，平方数の2倍であるとき。 すなわち， n=1,2,4,8,9,16,18,25,32,36,49,50,64,72,81,…のとき。 www2.stetson.edu/~efriedma/tani…

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nが一個差になる組合せは，8,9と49,50以外にあるだろうか？ →平方数が偶数ならばその前後の数は奇数で2*平方数にならないから，奇数の平方の前後の数が2*平方数になるかどうかを調べればよい。

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→で，あった。小さい順に， 288,289 1681,1682 9800,9801 57121,57122 332928,332929 1940449,1940450 … 思ったよりまばら。

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2*12^2,17^2 41^2,2*29^2 2*70^2,99^2 239^2,2*169^2 2*408^2,577^2 1393^2,2*985^2 … 99=3*3*11，1393=7*13なので，奇素数の平方の前後を調べるだけでは不十分であったことも確認。

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結局，n個の直角二等辺三角形を敷詰めて直角二等辺三角形を作る問題，ピースを1個増やしても直角二等辺三角形が作れるのは，n=8,49,288,1681,9800などがあることが分かりました。 ow.ly/i/8kZs6 twitter.com/Polyhedrondiar…

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この直角二等辺三角形充填の話，白銀長方形への白銀長方形の充填と等価なのだな。 つまり，A4用紙2枚でA3，4枚でA2，8枚でA1，16枚でA0だけど，9枚でも相似な白銀長方形ができる。 49,288,1681,9800…枚のときも，一枚増やして並べかえると白銀長方形にできる。

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未解決の疑問。 ・nの一般項って求まる？ ・nは小さい順に偶奇偶奇…となってるようだけど，この先も？