球帽の体積を，積分しないで求める！

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

一定厚みの球殻を平面で切って穴をあけるとき，切口は円環になる。 どの平面で切るかによって当然その円環の径や太さは変わるけど，その面積は常に一定になる。 ぱっと見意外だけど，計算して確かめてみると「あっなるほど！」ってなる。

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

球帽(spherical cap:球を平面で切った帽子状の形:二等分なら半球)の体積は，ふつう積分を使って求めるのだけど，これを使うと積分せずに求められることに気づいたので以下連ツイします。 twitter.com/Polyhedrondiar…

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

こいつが球帽。 半球より大きいものも球帽という。確かにそういう帽子もあるよね。 Spherical Cap -- from Wolfram MathWorld mathworld.wolfram.com/SphericalCap.h… p.twipple.jp/qxz1s

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{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

まず，内径a，外径bの球殻を，中心からxの距離にある平面で切る(a<x<b)と， その切口の円環は，内径√(a^2-x^2)，外径√(b^2-x^2)になるから，面積はxによらず一定の，π(b^2-a^2)になる。

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

つまり，球殻に穴が開くように平面で切るとき，どの向きのどの平面で球殻を切っても，断面積はπ(b^2-a^2)で変わらない。

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

水平な2平面で球殻を切るとき，球殻の上下に穴が開くように切ると，ドーナツの形のような「切頂切底球殻台(=球帯？)」ができる。 この球帯はどの水平断面も面積一定だから，それに高さを掛けると体積が計算できる。 つまり内径a，外径bで高さhの球帯の体積は，πh(b^2-a^2)

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

さて，内径a，外径bの球殻を，一端から平行にスライスしていくとき，切口は点→円→円環→円→点と変化する。 円と円環のちょうど境目となる2つの平面で切れば，もとの球殻(体積4π(b^3-a^3)/3)は，2つの球帽と残りの部分(穴が点に退化した球帯)に分けられる。

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

この球帯の体積は，円環の面積に高さ2aを掛けた2πa(b^2-a^2)なので，球帽1つの体積は， π(2(b^3-a^3)/3-a(b^2-a^2)) =π(b-a)^2(2b+a)/3 ということで，積分を使わずに球帽の体積が求められた！㊗

Ryo Takamura @ryotakamura0427

@Polyhedrondiary 素晴らしいです(^-^) これを見てふと疑問に思ったんですが、カバリエリの原理を使うのは積分したことになるんですかね… 「断面積が一定なので高さをかける」ってとこだけ実は積分なのかなと…勿論積分計算はしてないですが(^-^)

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

@ryotakamura0427 そうとは思いつつ，そこはスルーしちゃって。 そも球の体積も，ほんとは積分しないと分からないんだっけ？？

Ryo Takamura @ryotakamura0427

@Polyhedrondiary これもカバリエリの原理で証明できてしまうので、「カバリエリの原理は積分なのか、求積法のひとつなのか」によりそうですね…

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

@ryotakamura0427 なるほど。考え方としては積分だけど，いわゆる積分計算はしなくていい，ということで御海容いただきたく(笑)

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

球帽の(底面を除いた)表面積，とてもシンプルで，(元の球の)大円の周長2πRに高さhを掛けるだけ。 しかも，この表面積の公式は，球の上下を切った球帯でも全く同じ2πRhになってる。

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

球帽の底面の半径をrとすると，2πRh=2π(r^2+h^2) ってことは，球帽の表面積が，頂点と底面を球帽と共有する円錐の母線を半径とする円の面積になってるってことか…！ その円錐の側面は展開すると扇形になるけど，球帽の「側面」はそれと同径の円と同積になるのかー

Haruyuki Kawabe @p314159265

「Aha! ひらめきの幾何学」お買い上げいただきました？そうでないとしても、なんてタイムリーな。 twitter.com/Polyhedrondiar…

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

@p314159265 拝見してないのですが，佐藤郁郎さんのページに球殻を切断する話があって，そこからあれこれ考えていました。

Haruyuki Kawabe @p314159265

ありがとうございます。「円環の面積（その４）」をみてみたら、参考文献にあげられてました。 RT @Polyhedrondiary: @p314159265 拝見してないのですが，佐藤郁郎さんのページに球殻を切断する話があって，そこからあれこれ考えていました。

共立出版 アリがと蟻 @1738310

本書では、マミコンの定理によって、さまざまな平面領域の面積が幾何学的に求められることを示すので、読者は“Aha!”（閃き）の瞬間を満喫できることでしょう。『Aha! ひらめきの幾何学』bit.ly/2alevxG（川辺治之 訳）のご紹介です。