オイラーの無限小概念はどれくらい正当化できるか

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最近私はオイラーの無限小定義が（現代の）超準集合論で定式化されたそれと「事実上同じ」だと解釈できることに気付いた．しかしこのことをもってオイラーが「無限小の精密な定式化のアイデアを持っていた」とまで言うと弁護が過剰だと思われる．

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オイラーの無限小定義の議論で，実は二種類の量化（強，弱）が現れているのだという立場を明確にしたときに，はじめて無限小の議論が疑いようもないものになった．それ以前はバークリーの批判が無視できないものと受け取られていた以上（続く）

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（続き）オイラーの無限小理解が，明確に言語化できるほど精密なものだったとは思えない．一方で，オイラーの無限小や無限大の扱いの迷いのなさを見ると，言語化以前の段階の感覚では無限小をうまく扱えている．これは「アイデアは精密に公的な表明をされていなければ存在しないことになるのか」（続く

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（続き）ということとも関連する．この議論は面倒なのでこの枝は捨て，別の話題．ネルソンは後年，ISTを「議論の省略をフォーマライズしたもの」とみなせると主張するようになった．この立場を取ると，ISTでオイラーの立場が理解しやすくなる現象に一応の説明がつくように思える．

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ツイートの補足．オイラーはその有名な「無限解析序説」で『そこでωは無限に小さい数，すなわち，どれほどでも小さくてしかも0とは異なる分数としよう』という一文をもって無限小を導入している．オイラーの本は定義定理証明というスタイルではないが，事実上これが無限小の定義である．

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（訳文は高瀬正仁訳「オイラーの無限解析」より）．

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ISTには二系列の量化子がある．まず，「普通の」量化子である∀，∃．そして「到達可能なものだけ扱う」∀^S，∃^S ．∀^Sは∀より弱い．（ただし移行原理は，ある条件で∀^Sを∀に強めることを可能にする）．

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このISTで「ωが無限小実数である」ことを定式化すると ∀^S a > 0 |ω| < a となる．条件を読み下せば「到達可能ないかなる正数より小さい」ということになる．このような定義とISTで証明される無限小近傍の性質を使うと（続く）

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（続き）たとえば多項式の微分のような議論はオイラー流の無限小の議論をほぼそのままなぞって「リゴラスに」行える．この立場からバークリーの批判を振り返ると，バークリーは∀^Sと∀を混同して批判をしていたということになる．

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バークリーの批判が的はずれだったかどうか，は結局『そこでωは無限に小さい数，すなわち，どれほどでも小さくてしかも0とは異なる分数としよう』からIST流の定式化を読み取れるかどうかということにかかっているが，オイラーが書いたものだけからそこまで読み取るのは過剰弁護だと思われる．

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オイラーが残した計算を見ると，オイラーが無限小について確固たる内観を持っていたことは確かなように思える．そしてそのいくらかはISTで補強できる．しかし，オイラー本人が無限小それ自体について語ったものは言葉足らずで，オイラー自身の業績の偉大さとは釣り合いが取れていない．