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一様密度で凸な起きあがりこぼしは存在するか?

一様な材料で,凹みや空洞のない起きあがりこぼしが作れるか?という問題です。二次元と三次元とでこれほど違うとは! 起きあがりこぼし的な多面体,多胞体についても最後で触れています。
数学 Gomboc 重心 起きあがりこぼし 幾何学
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{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
【数学パズル】二次元の凸な起きあがり小法師は存在するか? すなわち,一様密度の凸な二次元図形を水平線に立てるとき,安定な平衡状態がただ1つになることがあるだろうか?
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
この二次元起きあがりこぼし問題,言い換えると 「断面も密度も一様で,軸方向に無限に長い棒を水平面に置くとき,どのように置いたとしても重力で一定の向きに安定するような,凸な断面形状が存在するか?」 ってことです twitter.com/Polyhedrondiar…
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棒はもちろん三次元の物体ですが,軸方向にはどこでも同じ状況なので,次元が1つ落ちて実は二次元の問題なのです
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ちなみに円(無限に長い円柱)だと,安定点は1つも存在せず, 楕円(無限に長い楕円柱)だと,安定点は2つ(曲率最小の点が下にくる),不安定な平衡点も2つ(曲率最大の点が下にくる) 円の場合は,安定と不安定の中間の点が無数に存在(というか円周全体がそう)することになります
森 邦彦 @ 11/16デザフェスJ-36「げんそけん」 @morikuni_net
@Polyhedrondiary 滑らかな曲線でできた図形の場合で唯一の安定平衡点をもつケースはないと思います。重心=原点から曲線までの距離を極座標のグラフ表示すると、非凸の場合は最短距離が安定平衡点になりますが、その場合原点はグラフから求まる重心とは異なってしまう(すなわち矛盾
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
@morikuni_net 存在しないで正解です! 二次元では安定点も不安定平衡点も2つ以上というのが定理になってます
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
これ,正解は1番で,「二次元一様凸おきあがりこぼしは存在しない」なのですが,以下証明を紹介します twitter.com/Polyhedrondiar…
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まず候補になる凸図形の重心Gを原点にとった極座標を考え,周上の点を(r,θ)とする。 求める図形は円ではないので,関数r(θ)はθが0から2πまで変化するうちに,連続的に変化して(不連続なら図形は非凸),元の値に戻るはず。 p.twipple.jp/Tfmix
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なので,関数r(θ)は最小値及び最大値を有する。 ここで,rが極大になる点は,その近傍に比べて重心までの距離rが小さいから,安定点であり, 反対に,rが極小になる点は,その近傍に比べて重心までの距離rが大きいから,不安定な平衡点 p.twipple.jp/BlGdN
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よって,安定点と不安定な平衡点は,同数。 次に,安定点がただ1つ(二次元一様凸おきあがりこぼしが存在する)と仮定して,矛盾を導く(背理法)
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その場合,不安定な平衡点もただ1つであるから,関数r(θ)は最小値・最大値のほかに極値をもたない。 つまり,その最小値と最大値の間の値をRとすると,方程式r(θ)=Rは,0<=θ<2πにおいて,ちょうど2つの解をもつ。 p.twipple.jp/BlGdN
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{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
そして,Rが最大値から最小値に動くとき,これら2つの解の「間隔」は,0から2πまで単調増加するから,どこかに解の間隔がちょうどπになるようなR=R_0が存在する。
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はっ!これ極大と極小が逆でした…。読み替えていただければ。。 rが極小なら,その点を中心に微小角度回したときに,重心が上がるので復原力がはたらく,というわけなので。 twitter.com/Polyhedrondiar…
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
「二次元で一様な凸の起きあがりこぼしは存在しない」のですが,三次元なら存在します。 例えば,長めの円柱を水平面に寝かせて置いて,その両端を,きつめの角度でハの字に切断した形。切断面を下にしたときに,その真上に重心が来ない角度で切断すれば,唯一ハの字が直立する向きで安定します。
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ただこの「両端ハの字切断円柱」は,鞍点が1つ(一方向には安定,他方向には不安定な平衡点:安定点の対蹠点)のほか,不安定な平衡点が2つ(切断面の縁の最下点)あります そこで,安定点も不安定平衡点もただ1つであるような,三次元の一様密度な凸図形が存在するか?という問題が出されました
盛田みずすまし @nosiika
@Polyhedrondiary 飲食店の伝票を差す筒を2つくっ付けたような形ですね!
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
水平面に置いたとき,安定点がただ1つであるような物体を「monostatic」,さらに不安定平衡点もただ1つであるような物体を「mono-monostatic」と言う 起きあがりこぼしは,monostaticである必要があるが,mono-monostaticである必要まではない
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mono-monostatic な立体としては, 密度一様の条件がなければ,重心の偏った球がそうだし,非凸でよければ,空洞を設けることで同様に重心の偏った球が可能。 重心が最も低くなる向きが安定点で,最も高くなる向きが不安定平衡点。どっちもただ1つ
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
(ただし,球の表面に窪みをつけるのだとその窪みを下にして安定したりするので,表面には手をつけない「空洞」にするのが吉。二次元でも円弧に肉付けしたようなのは逆さでも安定だからmonostatic でない)
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三次元の密度一様な凸図形で,mono-monostaticなものが存在するか,という問題は,1995年に提出され,2006年に肯定的に解決した。 当初二次元と同様に不存在を証明しようとしていたところ,それはできず,逆にmono-monostaticな例を構築することに成功。
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
それがこの立体。 安定点と不安定平衡点をちょうど1つづつもち,鞍点はもたない。形状はとてもセンシティブで,1/1000ずれるとmono-monostatic でなくなってしまうとか。 Gömböc en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mb…
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
発見者がハンガリーの人なのでこの立体の名前もハンガリー語から。読み方が難しい。 なんかおにぎりみたい p.twipple.jp/pXWlY
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{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
一様密度の凸な三次元図形で,mono-monostaticなgombocだけど,これは球面や円柱側面等の曲面でできてるので多面体ではない。 多面体でmono-monostaticなものはないけれど,monostaticなら可能で, twitter.com/Polyhedrondiar…
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
単安定多面体と呼ばれている。 ここでは19面体が挙げられていて,昨日言及した円柱をハの字に切り落とした形に似てるけど,断面の17角形もなるたけ重心が下に来るように歪んだ形をしている。 p.twipple.jp/YGlIF mathworld.wolfram.com/UnistablePolyh…
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