10周年のSPコンテンツ!
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前ふり。あまり知られていないけど綺麗な定理です。

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
ミケルの五点円定理とよく似た定理に,当時高一(!)の高田英行さんが発見した定理がある。 円に内接する五角形から,対応する五芒星を除いた5つの三角形の外接円の交点は,同一円周上にある。 高田の定理とCabri www25.tok2.com/home/toretate/…
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高田さんは,ミケルの五点円定理から類推してこの定理が成り立つことを発見し,『大学への数学』に投稿してその後証明がなされたとのこと。 当時とても盛り上がったそうで,素晴らしいことだと思う。 高田の定理 - GeoGebra geogebra.org/m/nTy9b7mr
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高田の定理,青い主円上にある5つの点を動かしても,5つの円の内側交点は同一円周(赤)上に乗っているのが分かると思います。(前ツイのリンク参照) 一般の位置の5点は,内側に緑で描いたように1つの楕円を決めるけど,同一円周上には来ない p.twipple.jp/29epg
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ここから本題

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1/7=0.142857142857…だけど, この循環小数に見える六点(1,4),(2,8),(5,7),(4,2),(8,5),(7,1)をつなぐと同一楕円上にあるの図 p.twipple.jp/9SxGI
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十進法以外でも?と思ってやってみた。 12進法で,1/7=0.186a35186a35… 楕円じゃなくて双曲線に乗るのか p.twipple.jp/oEcfQ
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ちなみに,8進法だと周期1,2,4,16進法だと周期3の循環小数になるので。 周期6になる底で常に二次曲線上に乗る,というのは言えるのかな?(言えそう)
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だとすると,円,楕円,放物線,双曲線のどれになるかってどのように決まるんだろう? 1/7の循環小数に現れる点が同一円周上に来たり,同一放物線上に来たりするのは何進法のとき?具体的に見つけることってできる?
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1/7の循環節から六点(1,4),(2,8),(5,7),(4,2),(8,5),(7,1)を作って繋いでも,1個飛ばしで(1,2),(2,5),(5,2),(4,8),(8,7),(7,4)を作って繋いでも,楕円に乗るのか…! p.twipple.jp/9SxGI pic.twitter.com/r4KKNYEBMD
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1/7の循環節から二桁づつとる方式でも,楕円ができるパターンが二種類あるようだ。 pic.twitter.com/6QoSweGhq4
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十進法に限らず循環節が長さ6なら成り立つっぽい。 3進法だと1/7=0.010212…で楕円に乗る6点が得られ, 5進法だと1/7=0.032412…で双曲線に乗る6点が得られる。 pic.twitter.com/RvJH5vfCdl
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17進法1/7=0.274e9c…は楕円, 19進法1/7=0.2dag58…は双曲線, 24進法1/7=0.3a6kdh…は楕円, 26進法1/7=0.3iem7b…は双曲線。 法則性ある? pic.twitter.com/qzUp6fnuxW
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{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
1/7楕円について,『数学セミナー』7月号に考察が載っているそう。 素数分の1の循環節に関するMidyの定理と関係があるんだとか。十進法の場合,循環節が偶数なら前半と後半の和が9のゾロ目になるのが効くらしい。 円,楕円,放物線,双曲線に乗るときの必要十分条件がわかってるのかな…?
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Midyの定理については,日曜数学者 @tsujimotter さんのブログが分かりやすいです。循環小数,深いなぁ 循環小数(2): Midyの定理(前編) - tsujimotterのノートブック tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/…
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1/7楕円ならぬ1/13双曲線 1/13=0.076923076923…から6点とると,同一双曲線上に乗ります。 1/7楕円と同様に,たぶん1個おきにとっても,二桁づつとっても,双曲線に乗ると予想(あとでやってみる) pic.twitter.com/OKvu5W9jDw
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1/7を循環小数で表して,楕円を通る6点を作る話,なぜそうなるかようやくワケがわかった! まず,Midyの定理より,素数pに対して1/pの循環小数が偶数長さの循環節を持つなら,その前半と後半の合計は9のゾロ目になる。
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つまり,素数の逆数が周期6の循環小数になって,循環節がabcdefなら,d=9-a,e=9-b,f=9-cということ。自由度は3しかない。 すると,6点(a,b),(b,c),(c,d),(d,e),(e,f),(f,a)は,2点3組が点(9/2,9/2)に関して対称の位置にある
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二次曲線は5つの自由度を持つ(二変数の二次多項式の係数のうち独立なのは5個)が,中心の位置が決まっているので2失われていて,残り3。 ここでa,b,cの値を決めれば二次曲線は1つに決まって,6点はすべてその上に乗っていることになる。というわけ。とても納得した!
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1/7=0.142857…もこれに該当し,142+857=999 1/13=0.076923…も076+923=999 素数じゃないけど39も1/39=0.025641…で025+641=999 十進法じゃなくて他の底でも,同様のことが言える。(底nならn-1のゾロ目に)
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なので,これでスライダーa,b,cを 1,4,2にすれば1/7楕円が,0,7,6にすれば1/13双曲線が,0,2,5にすれば1/39楕円が得られるってことになります。 pic.twitter.com/P6G5R3uRF0
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これです。 ぜひスライダーいじってみてください 1/7楕円 - GeoGebra geogebra.org/m/tYMt57bM

コメント

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary 2016年10月14日
あらら,一部にミスが。。 1/39は9のゾロ目じゃなくて6のゾロ目になりますね。楕円には乗るけれど,スライダーで0,2,5にしたものとは別の楕円になります。
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