17について／素数大富豪日記12月編
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miura_prime
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こんにちは。「左の男」みうらです。
MATH POWER杯を見ていない方も、昨日のもっちょさんの記事で僕が599が好きであることを知って頂けたかと思います。
僕は準決勝でもひとつ、こだわりの素数を出しました。それが「17」です。
ちなみにこれは僕の本アカです。高校で「みうらぽ」と呼ばれていたので「ぽ」です。
みうら
@miura_prime
「定規とコンパスのみで、正17角形は作図できる」 この事実は多くの数学好きの方が知っていると思います。天才ガウスが19才の時に見つけたと伝えられる事実で、17=2^4+1がフェルマー素数であることに基づいています。
2016-12-21 02:37:42
みうら
@miura_prime
僕がこれを知ったのは16才のときで、その衝撃は今日に至るまでに僕が得た数学的知識の中でも一番かと思います。つい先日その頃のことを思い出す機会があり(ここから12月の話が始まります)、なぜあれほどまでに衝撃を受けたのかを考えてみました。
2016-12-21 02:38:16
みうら
@miura_prime
正17角形が作図できることに、僕が尋常じゃない衝撃を受けた理由。それはおそらく、 17という素数から醸し出されている素数オーラが半端じゃなかったから です。
2016-12-21 02:38:55
みうら
@miura_prime
大学数学を知らない高校生にとって、17という数に触れる機会はとても少ないのです。17番目に小さい自然数にもかかわらず(自然数に0を含める派を敵に回す発言)、日常の中でも数学の勉強においても、17はあまり出てこない。
2016-12-21 02:39:24
みうら
@miura_prime
それに対して隣り合う16や18は、運転免許や結婚に必要な年齢として定められている数であり、またコインやサイコロを用いた場合の数・確率の問題で頻出する数でもあります。16,18という"目立った二人組"に挟まれて、17という数がとても孤独に思えてきます。
2016-12-21 02:39:49
みうら
@miura_prime
素数は1とその数以外で割れないため、しばしば孤独な数と呼ばれます。しかし17には、隣接する数に比べて相対的に目立たないという別の意味の孤独感もある。それが、かつて僕が感じていた17の"素数オーラ"だったのだと感じています。
2016-12-21 02:40:53
みうら
@miura_prime
そして、目立った二人組に挟まれた17という素数が、実は「正17角形は作図できる」という驚くべき性質を持っていた。この事実に出会えた瞬間はまさに、僕の中で影の薄かった17に光が差し込んだ瞬間です。 数学に限らず、今まで軽視していたものの重要性に気づいた時というのは大切な瞬間ですね。
2016-12-21 02:41:27
みうら
@miura_prime
17のこの性質を知った16才の僕は、途端に17才になるのが楽しみになりました。もうすぐで、年齢を記入する際に「17」という素数を書ける。それが無性に待ち遠しかったのを覚えています。今思うと、僕の素数好きはこの頃から始まったのかもしれません(笑)
2016-12-21 02:42:07さて、僕の大好きな素数17の紹介は、ここからが本番です。
みうら
@miura_prime
次は、場合の数が17である数学的対象の話。先ほど16や18が場合の数・確率の問題で頻出すると言いましたが、場合の数がちょうど17であるものもちゃんと存在しました。 それは、2次元で対称性と繰り返しを持つ幾何学的なパターンの種類です。
2016-12-21 02:42:41
みうら
@miura_prime
基本となるある図形を、そのまま並べたり、回転させたり裏返したりして平面を敷き詰める方法は、基本の図形の相違を除けば全部で17通りであることが知られているのです。 こんなところで17という素数が登場するのはとても不思議ですね。
2016-12-21 02:43:15
みうら
@miura_prime
詳しくはこちらをご覧ください。 ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%96%87… 17種類であることを証明したのは、『いかにして問題をとくか』の著者としても有名なG.Polya氏です。
2016-12-21 02:44:01まだまだ17の話は尽きません。
みうら
@miura_prime
3つ目の話題は、次の問題から始まります。 2以上の任意の自然数nに対して、命題 「連続するn個の自然数からなる集合は必ず、他のどれとも互いに素である元を含む」 は真となるか？
2016-12-21 02:44:40
みうら
@miura_prime
例えばn=4として、連続する4つの自然数からなる集合 ｛m,m+1,m+2,m+3｝(mは自然数) を考えてみましょう。この場合は、少し調べるとm+1とm+2のうちどちらか奇数である方が、他の3つ全てと互いに素であることがわかります。すなわちn=4に対しては命題は真です。
2016-12-21 02:45:14
みうら
@miura_prime
n=2,3,4,5,6くらいまでは比較的容易に命題が真であることが分かり、この調子で任意の自然数n≧2に対して証明できるような気にもなるのですが、実はn=17に対して反例があるのです。 それは例えば、｛2184,2185,…,2200｝という集合です。
2016-12-21 02:45:42
みうら
@miura_prime
2184から2200までの17個の自然数からなる集合は、どの元をとっても、自身と互いに素でない他の元が見つかります。「互いに素でない」という言葉を「共通の素因数を持つ」と言い換えれば、この"17人組"は誰もが一人じゃない、そんな特別な集合のように思えてきます。
2016-12-21 02:46:15
みうら
@miura_prime
連続する自然数からなり、どの元をとっても自身と共通の素因数を持つ他の元が存在する集合。そのような集合の元の個数の最小値が、17なのです。
2016-12-21 02:46:56正17角形を作図して、各頂点に2184から2200までの自然数を割り振って、共通の素因数を持つもの同士を線でつないで、どれも孤立しないことを確認して満足したい。
みうら
@miura_prime
他にも「17年ゼミ」の話、数独の初期ヒントの個数の最小値が17である話など、17にまつわる話題はたくさんあります。今日この記事を書く際に参考にした本『数字マニアック』にも、"17にはおそらく最も驚くべき数の話題がある"とあります。17は決して影の薄い存在ではありません。
2016-12-21 02:47:31素数大富豪に直接は関係ないことばかり書いてしまっているので、素数大富豪での17についても書いておきます。