数学徒しららに教示を願う、内在的論理の拡張展開限界

ラクテンlミリオンセージ角l煮椅l子 @millionsage

@shirara_chan ご質問させていただきたいことがありますので、後ほどお送りさせていただきます。無知ゆえ、的外れな部分多々かと思いますが、気が向きましたら、参考情報でもかまいませんので、ご返答やご教示をお教えいただければと思います。

しらら @shirara_chan

@millionsage な、なんでしょう

ラクテンlミリオンセージ角l煮椅l子 @millionsage

@shirara_chan ある論理集合それ自体が内在的な論理だけで、その論理集合を止揚改定拡張することってできるんでしたっけ？ 数学的論理学な表現になってないとは思うんですが。中高レベルでいうと、負の数や虚数は突然外部からやってきためいてますが、内在論理から導き出せるのかと

ラクテンlミリオンセージ角l煮椅l子 @millionsage

@shirara_chan 複素数があれば、複素数平面は自然な発展に思えますし、複素数平面があれば、物理現象が仮にない世界でもベクトルが現れてもおかしくないかと。でも、それは学習の順番でそう見えているだけで、最初の公理に含まれてないものは、どうやっても導き出せないのかと

ラクテンlミリオンセージ角l煮椅l子 @millionsage

@shirara_chan ユークリッド幾何では証明できない命題がありリーマン幾何学でその命題は証明できるが、ユークリッドとリーマンは矛盾がある。数学が発展していけばユークリッドからリーマンにいけたり包含する体系が存在しえるのかと。この辺はDM読んでいただければ真テーマ伝わるかと

しらら @shirara_chan

@millionsage 僕は思想哲学は疎いので数学の言葉でしか返答できないんですが、少なくとも負の数、複素数については、それぞれx+1=0,x^2+1=0という方程式の根を確定させたいというパッションから生まれたものというのが歴史的な数の拡張であるということです。

しらら @shirara_chan

@millionsage だからあくまで数学独自の話ですが、みりおんさんの言う「内在論理の拡張」には「既約多項式の分解」というのが当てはまると思います。あくまで数学の、さらに狭い体論の話ですが。

ラクテンlミリオンセージ角l煮椅l子 @millionsage

@shirara_chan 虚数については、ルート根と同じく私にもすごく自然な単位、概念に思えましたし、思います。

ラクテンlミリオンセージ角l煮椅l子 @millionsage

@shirara_chan 私は習いませんでしたが、三次方程式、四次方程式には一般解は存在するが、五次方程式にはどうやっても一般解は存在せず、存在しない理由の証明にいたるには、代数方程式を上位で包含する群論集合論が必要だったということでしょうか

しらら @shirara_chan

あとどの話をしよう

しらら @shirara_chan

@millionsage おっしゃっているので概ねあっています。細かいところを言えば、代数方程式と群の関係は1:nの関係で、群論に移った後も交換演算子をとるだけなので、上位包含というほど偉いものでなかった気もします(あくまで主観です)

ラクテンlミリオンセージ角l煮椅l子 @millionsage

「群論に移った後も交換演算子をとるだけなので、代数方程式の上位包含というほど偉いものでなかった」 そうななか！！！！！ （ぜんぜんわからん

しらら @shirara_chan

@millionsage 群論やっていないと用語が謎ですよね…簡単に言うと、n次方程式からそれに対応する群が出てくるんですが、その群に「群をちょっと小さくする演算」をかけ続けて、最終的に{1}になれば解の公式がある、いつまでたっても{1}にならなければないということです