偏微分と独立変数

偏微分に関する疑問
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

偏微分って、いっぽうで「式の形」に対して行う操作なのに、他方で「裏で繋がっている関係」をきちんと反映する面があって、なんかワケが分かんない。

2017-04-18 18:10:05
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

x=r・cosθ,y=r・sinθの関係があるとする。べつに、y=(r・sinθ+x・tanθ)/2と書いて、rとθを固定して∂y/∂x=(tanθ)/2としたって間違いじゃないわけですよねぇ。

2017-04-18 18:10:42
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@Tutttiyah ありがとうございます。「妙にうまくいく」のには根拠があるはずで、そこを理解してないとどこまで振り回していいか分からなくて困りますね。ご教示が突破口になりそうです。

2017-04-18 19:20:56
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten その関係式ならrとθを固定しちゃったらxとyも固定されるからまずいと思いますよ。x,y,r,θのうち二つを独立変数、二つは従属変数で、固定できるとしたら独立変数のうちどっちか一つです。

2017-04-18 20:06:38
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten y=(r sinθ + x tanθ)/2という式は、 x,θが独立なら y=(r(x,θ) sinθ + x tanθ)/2 r,θが独立なら y=(r sinθ + x(r,θ) tanθ)/2 x,rが独立なら y=(r sinθ(r,x) + x tanθ(r,x))/2

2017-04-18 20:10:41
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten と3通り解釈できて、xで微分できるのは1番目と3番めだけ。 1番めならθを固定、3番めならrを固定。 1番めの場合は、 ∂y/∂x=(∂r(x,θ)/∂x sinθ+tanθ)/2 になります。

2017-04-18 20:14:52
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu ありがとうございます。そのように実際の従属関係に基づいて制約を課せば納得が行きます。が一方で、もし仰る通りだとすると、例えばx=t^2という関係があるときのf(x,t)=2x+t^2を考えたとき、∂f/∂x(t固定)などは考えたらアカンことになってしまうと思うのです。

2017-04-18 21:25:27
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten その状況で「∂f/∂x(t固定)」を【単体で】考えるのはあかんでしょう。x=t^2という関係があるのなら「fのt微分」は (∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂t) になるわけで、そのときの(dx/dt)の前の係数としてはありですが。

2017-04-18 21:33:14
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten ほんとうは自由度1しかない(x=t^2である)のを「x=t^2は見ないふり」で自由度2っぽく考えて∂f/∂xするのはいいですが、それはあくまで「見ないふりをしている」という文脈の上でだけでだけやっていい、と思うべきです。

2017-04-18 21:35:09
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten そのあたりは「よくわかる解析力学」の中で「(dx/dt)を固定してxで微分する(∂L/∂x)はやっていいのか」みたいな話でも書きましたが、あれも本来後ろに(∂L/∂(dx/dt))のパートがあるから意味のある計算になってます。

2017-04-18 21:37:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu なるほど。私は「実際に従属関係があるかどうか、あるいは後で従属関係を考えるつもりがあるかどうか」といったことを忘れ去って形だけ見て微分するのが、そもそもの偏微分の発想なのかと漠然と理解していました。それが意味をなすためには文脈が適切でないといけないわけですね。

2017-04-18 21:41:08
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten 偏微分は自由度が複数あるときように作った微分だけど、自由度が使われている文字の数より少ない場合でも流用できる形にはなってますね。 最初のx=r cosθ,y=r sinθの例は自由度は2なので、固定できる変数は一つ、というのは単に自由度勘定の問題です。

2017-04-18 21:45:37
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@Tutttiyah @y_bonten いったん自由度3のふりをしてxで微分するのはありといえばありですが、最初に「x=r cosθ、 y=r sinθ」で始めているのに自由度3のふりをするというのはおかしい計算だと思います。いややりたければやってもいいかもだけど。

2017-04-18 21:50:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu @Tutttiyah 完全な憶測ですが、純粋な数学的には「アリ」で、ただまぁ意味があるかどうかは別問題、という感じなのかもしれませんね。

2017-04-18 21:57:37
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten @Tutttiyah 自由度2の計算をやりたかったのに「うっかり」自由度3の計算をしちゃうと実際には出てこない関係式を間違って出してしまうので要注意です。たとえば本来2自由度の場合なら、Adx + Bdy +Cdz=0からA=B=C=0が結論できない、とか。

2017-04-18 22:04:59
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@y_bonten @Tutttiyah そのあたり気をつけながらやるのならいいかもしれません。ゲージ理論でゲージ固定せずに計算しているときってそんな感じです。

2017-04-18 22:08:50
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu @Tutttiyah 了解しました。気を付けるようにします。機械的にやるのはいいが、機械的にやってるという自覚を伴っていないと危険ですね。

2017-04-18 22:10:31
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

「何を固定して何で微分するか」という形で注意喚起されがちだけど、「そもそも何と何の関数と見るか」に気を付けている前提だよね。

2017-04-18 22:17:34