VとLの違い，そしてISTにおけるSとの関係についての疑問

dif_engine @dif_engine

「可測基数の存在はLがVに比べて果てしなく薄いクラスであることを保証してしまう」保証してしまうと何がまずいのだろうかという素朴な疑問が湧いてくる． jstage.jst.go.jp/article/kisoro…

Eureka GAP @j_tGAP

@dif_engine 何もまずいことはありませんし、この文脈でもまずいという意味は込められてないです。

dif_engine @dif_engine

@j_tGAP ありがとうございます．

dif_engine @dif_engine

VとLがかなり違うということが言えるほど強力だ，という意味の「してしまう」みたいだ． twitter.com/dif_engine/sta…

Eureka GAP @j_tGAP

@dif_engine 後半に書いてありますが、むしろLのほうがVよりもずっと薄いと思っているからこそ、「可測基数が存在する」というのはZFCと両立しうると思っています

dif_engine @dif_engine

@j_tGAP ちょっと思ったのは「してしまう」という言い回しが「V=Lだと信じていた人／信じていたかった人」への配慮を含んでいたのかなぁと．（個人的にはLは作ってる過程でどんどん集合が取りこぼされてくイメージがあります）

Eureka GAP @j_tGAP

@dif_engine 確かにそういう配慮はありそうですね。Lに限らず、内部モデル理論で構成するようなモデルは必要最低限の集合だけ含むように作ろうとしているので、作る過程で集合を取りこぼしているというｲﾒｰｼﾞは正しいです。どちらかといえば作る過程で余計な集合が入ってしまうのを防ぐ工夫が必要ですが。

dif_engine @dif_engine

ISTからの興味としてはSとVの関係が知りたいです．超準集合論ISTにおけるS={x| st(x) } は真クラスです．空集合から出発してZFC集合論公理（公理図式）適用によって得られた集合はすべてSに属します．そんなわけで，SというのはVの近似っぽい雰囲気があります．

dif_engine @dif_engine

（１）Sが真クラスであること（これはISTの公理図式を組み合わせて証明できます），（２）空集合がSに属し，ZFCの公理および公理図式によってSに属する集合から作られた集合は再びSに属する　ということを組み合わせると「Sってのはかなり巨大なんだろうなぁ」と感じると思います．

dif_engine @dif_engine

しかし，ISTの公理図式を使うと「Sはある有限集合に包含される」ことが言えます．言えてしまいます．ここで言う「有限集合」というのはもちろんZFC内部で形式化されたものを言っているわけです．ISTで形式的有限集合を眺めると実に巨大な「有限」集合が存在することが言えます．

dif_engine @dif_engine

Vに属するいかなる無限集合 x も S との meet を持ちます： ∀x ( (x : infinite ) ⇒ ∃t ∈ x ∩ S ) そんなわけで，有限集合に包含されてしまうクラスSはV全体に薄く薄くフィラメント状に伸びている「気持ち」が湧いてきます．

dif_engine @dif_engine

クラスSが「真クラスであるにもかかわらず有限集合に包含される」事は，例えばISTのモデルを考え，そのモデルで眺めるとSが定義不能になってる，みたいに考えればいいと思います．

dif_engine @dif_engine

多くの場合（ホントかなぁ）ZFCにおける真クラスは「巨大すぎてZFCの集合にはなりえないもの」として現れますが，ISTにおけるクラスSは too intricate であるために集合にはなりえない」と考える，というのでもいいと思います．

dif_engine @dif_engine

ISTについての連ツイをしてると一体誰が読んでくれてるのだろうかと時々考えてしまいますね．そこで今から皆さんに、北方領土に関するクイズを出すピィ～♪ まずは初級編だピ！ 【第１問】北方領土を不法に占拠しているのはどの国でしょう？