『数学ガール』作者の結城浩先生から、1123フィボナッチの日にちなんでフィボナッチ数列の問題が出題

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

#数学の問題 です。1123フィボナッチの日にちなんで、フィボナッチ数列のやさしい問題をどうぞ。解答はリプでお気軽に。Enjoy! pic.twitter.com/GWBE0b3zZY

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結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

なお、添付画像の「命題」は「問題」のまちがいです。

パロム @mochikeigo

@hyuki 証明自体は帰納法であっさりで良いと思うのですが、この性質を初めて拝見しました。 この性質の面白い解釈の仕方（幾何的なものや例題等）はありますか？

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

@mochikeigo フィボナッチ数列は楽しい性質の宝庫なのでこういう「意味ありげな定理」は無数にありますね。幾何的意味まではわかりませんが。

定義/DEF @TEiGi_def

@hyuki 非負整数　という表記に感銘を受けました。 自分もどうしたらいいか、迷うこと多かったので、非負整数という日本語使っていきたいです

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

@TEiGi405nm 0以上のときは非負整数、1以上のときは正整数。よく使われている簡潔で誤解のないいい表現だと思います。

ふた @ofutaofuta

@hyuki おもしろ！ 結城センセのせいで睡眠時間減った笑笑！！ ありがとうございます！！ pic.twitter.com/X8lEPItiEO

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結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

@ofutaofuta シグマの下（下限）が、k=1だけど、問題はk=0ですからねー。 でも、証明はあってますね。おつかれさまでした。 (^^)

ふた @ofutaofuta

@hyuki どぅえええええ！！！ 結城センセに採点してもろた！！！ うはぁあああああああ！！！ うれしぃいい！ あの本の著者に〜！！ ああぁ！！ミスった！ほんまですわ！ 表記おかしい！！あちゃ〜！ ありがとうございます！！！ ❤️(((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))❤️

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

@ofutaofuta あと、細かいことを言うと、(i)で左辺と右辺が逆

みかんもち @mikanmoti135

@hyuki どうでしょうか pic.twitter.com/GRNofR5sCC

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結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

@mikanmoti135 ③の式がすでに間違っているような…+と-

もぶもぶ @hashaskell

@hyuki メモ程度で恐縮ですが、添付画像のような証明をしてみました(伝わるだろうか……） pic.twitter.com/wPSRTQi3Bn

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ゆうき/優騎 @kaiko_333

@hyuki ちゃんと書けたか不安……。 pic.twitter.com/gv7dElNzsl

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oto @oto_oto_oto

@hyuki 証明ではないけれども。 pic.twitter.com/PYFEnty6I1

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ポピー @yopeyopepe

@hyuki シグマの端っこだけが残る計算、日本では特に名前を聞きませんが、海外ではテレスコープと呼ばれていると聞いたことがあります……Fibonacci数列は色々と綺麗な性質があって面白いです！ pic.twitter.com/bqjsgXVgXc

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ポピー @yopeyopepe

@hyuki 失礼しました、1行目の宣言ですが、「k=1」ではなく「k=0」です！

くもく @kukumoku

@hyuki F(n+2) = F(n+1) + F(n) Σ(F(n+2) - F(n+1)) = ΣF(n) F(n+2) - F(1) = ΣF(n)

くもく @kukumoku

もし問題がF(n+2) = 2F(n+1) - F(n)なら F(n+2) - F(n+1) = F(n+1) -F(n) F(n+2) - F(1) = F(n+1) - F(0) F(n+2) - F(n+1) = F(1) - F(0) F(n+2) - F(1) = n(F(1)-F(0)) F(n+2) = (n+1)F(1) - nF(0) とか 漸化式がF(n+2) = aF(n+1) +bF(n)でa = 1 - bの時は一回分簡単にできるんかなとか

夏色日傘 @shade0710

@hyuki (証明) 以下、シグマの上端下端を省略して表記します。 Σ F_k = Σ(F_{k+2} - F_{k+1}) = (F_{n+2} - F_{n+1}) + (F_{n+1} - F_n) + …… + (F_2 - F_1) = F_{n+2} - F_1 = F_{n+2} - 1 ∴ Σ F_k = F_{n+2} - 1 (証明終わり)

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

私の解答（例）は、金曜日お昼ごろにツイートします。

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

解答例です。他にもいろんな証明方法があります。 pic.twitter.com/cf1qEqV1uW

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結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

ちなみに、この問題と解答の画像は、こちらで書いてスクリーンショット撮りました。 draft.hyuki.net