朝の稠密な数学 TL

稠密とは何か。そもそも実数とは何か。 ※2つの話題が同時進行していたので、時系列とは関係なく  分かりやすいように並べ替えています。 ※話題の区切り代わりに「0は自然数」置きましたが深い意味はありません。
math 数学 数学講義
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石塚 @Yusuke_Ishizuka
「位相空間Xの部分集合をAとするとき、Aの閉包がXに等しいならば、AはXにおいて稠密であるという」という定義のもとではX自身はつねに閉集合だからXはXにおいて稠密…?
石塚 @Yusuke_Ishizuka
じゃあ可算な位相空間は常に可分か
石塚 @Yusuke_Ishizuka
「有理数の稠密性」と「位相空間において部分集合が稠密である」の“稠密”はまた別の用語なのかな
石塚 @Yusuke_Ishizuka
Xは第二可算公理を満たす(可算開基が存在する)⇔Xは可分である(Xにおいて稠密な可算集合が存在する)
エヴィン・ラティエ @evinlatie
※「Xが第二可算公理を満たす⇔Xが可分である」は、距離空間においては成り立つが、一般の位相空間では⇒方向のみ成り立つ。 http://togetter.com/li/117775
鶴野 唐揚 @tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka Rを位相空間と見たとき、部分集合Qについて稠密です。だから、位相空間の稠密は一般化になっています。
石塚 @Yusuke_Ishizuka
@tsurunokaraage 有理数が稠密、というと「任意の二数の間にどちらとも異なる数がとれる」という認識ですね…難しいです
石塚 @Yusuke_Ishizuka
有理数が稠密といえば“∀a,b∈Q ∃c∈Q a<c<b.”しか
石塚 @Yusuke_Ishizuka
有理数の稠密性∀a,b∈R∃q∈Q a<b⇒a<q<b ってどう示すんだったかな
あなちゃん @anairetta
@Yusuke_Ishizuka とりあえず、Qの閉包がRと一致することは、 任意のRの元に対してそれに収束するQの列が存在することから言えます。 実はむしろこうなるようにRを定義する、というほうが正確です。
鶴野 唐揚 @tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka まず、∀a,b∈R ∃p∈Q a<c<bから直ちに、∀c∈R ∀ε>0 ∃q∈Q s.t.|c-q|<ε が言えるのですが、よろしいでしょうか。
鶴野 唐揚 @tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka すいません、∀a,b∈R ∃p∈Q a<p<b (cをpに変更)です。
石塚 @Yusuke_Ishizuka
@tsurunokaraage c-εもc+εも実数なのでc-ε<∃q<c-εですね
石塚 @Yusuke_Ishizuka
言うことがぶれててすいません。私のいう有理数の稠密性というのは、「任意の実数a,b(a<b)に対してある有理数qが存在してa<q<bを満たす」です
石塚 @Yusuke_Ishizuka
感覚的には分かるけど示すには…うーむ
鶴野 唐揚 @tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka よって、Rの任意の元は、部分集合Qの閉包にふくまれていることが言えますが、よろしいでしょうか。(ただし、Rを距離空間とみたときの、閉包です)
石塚 @Yusuke_Ishizuka
@tsurunokaraage 実数cに対してcの任意の開近傍がQと空でない交わりを作るのでRはQの閉包、ですね。つまりQはRで稠密と
鶴野 唐揚 @tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka 今、「Qの稠密性」⇒「Rを距離空間とした時に、RがQの(距離空間としての)閉包」が分かりました。一般に、Xを距離空間としたとき、Yの(距離空間としての)閉包である事と、Xをこの距離から入る位相空間と見たとき、の(位相空間としての)閉包である
鶴野 唐揚 @tsurunokaraage
@Yusuke_Ishizuka ことは等しいので、「Rを距離空間とした時に、RがQの(距離空間としての)閉包」⇒「Rを(この距離から入る)位相空間とみたとき、Qの(位相空間としての)閉包」が言え、言いたいことが言えました。
石塚 @Yusuke_Ishizuka
アルキメデスの原理を使って証明します。アルキメデスの原理というのは、任意の実数A,B(B>0)に対してある正整数nが存在してA<nBを満たす、というものでした。これはワイエルシュトラスの公理ら既に証明されているとしましょう
石塚 @Yusuke_Ishizuka
(AとBに適切な整数や実数を入れれば…あれっ上手くいかないな…)
石塚 @Yusuke_Ishizuka
(実数a,b(a<b)を適当に自然数倍(na,nb)すれば間に整数mが存在するようにできて(na<m<nb)1/n倍して元に戻せば主張が得られる(a<m/n<b)…という感じで……)
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コメント

Tomoki UDA @t_uda 2011年3月30日
デコってみた。0は自然数。
エヴィン・ラティエ @evinlatie 2011年3月30日
※「Xが第二可算公理を満たす⇔Xが可分である」は、距離空間においては成り立つが、一般の位相空間では⇒方向のみ成り立つ。
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