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2018年圏論ツイート初め

alg_d 先生による年始のありがたい圏論ツイート
数学講義 圏論
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圏論初め
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:15:32
そろそろ今年の新年初圏論ツイートしようかな
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:16:48
圏論の解説をすると結果としてワヘイヘイ漫画の解説をすることになるという状況笑ってしまう

後ほど登場します > ワヘイヘイ漫画

alg_d @alg_d 2018-01-01 01:33:39
場所さえ用意してくれれば僕が圏論の話しに行きますが

ということなので、場所(と適切な謝礼)を用意すれば alg_d 先生の生の圏論のお話が聴けるかもしれません(保証はしませんが)。

alg_d @alg_d 2018-01-01 01:34:44
というわけで圏論の話します
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:36:11
圏の条件には結合律と単位元の存在があります
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:37:11
結合律: (h・g)・f = h・(g・f) 単位元: id・f = f, f・id = f ただし・が射の合成
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:44:28
今、条件を3つの式で書いてしまいましたが、圏論っぽく(?)図式で書くと次のようになります。(Cが射の合成を与える写像で、I^a: 1={*}→Hom(a, a) は I^a(*) = id_a となる写像) pic.twitter.com/6TbuQxbuuc
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alg_d @alg_d 2018-01-01 01:45:50
可換であることを = で表しています
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:48:07
さて続きましてstrict 2-categoryというものがあります。これはざっくり言うと、圏という概念に2-morphismというものを追加したものです
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:53:26
2-morphismというのは、dom, codが一致している二つの射f, gがあったときに、「fからgへの射」のようになっていて、図式では次のような感じで書きます。σが2-morphismです。(2-morphismは「2」なので2本線の矢印で表します) pic.twitter.com/n4TAZ0FmvG
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alg_d @alg_d 2018-01-01 01:54:12
そして、通常の圏と同じように、この2-morphismが満たすべき条件が色々と与えられたものがstrict 2-categoryです
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:56:25
例えばstrict 2-categoryの条件の一つとして「任意の対象a, bについてHom(a, b)が圏になる」があります。
alg_d @alg_d 2018-01-01 01:58:28
つまり例えばどういうことかというと、3つの射f, g, h: a→b があって、2-morphism β: f⇒g, γ: g⇒h があったら、このβとγは「合成」できなければなりません。更に、この「合成」について結合律と単位元の存在が成り立つ必要があります。 pic.twitter.com/3qy2woJvI4
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alg_d @alg_d 2018-01-01 02:00:44
この合成を垂直合成と呼んでalg_d.comではγ*βで表していますが、この記号は今日は使わないと思います pic.twitter.com/hRNZQTCgyq
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alg_d @alg_d 2018-01-01 02:03:52
さて、strict 2-categoryには他にも条件がまだあって、今Hom(a, b)が圏になるという条件があったのですから、当然合成を与える C: Hom(b, c)×Hom(a, b)→Hom(a, c) も関手になるという条件が加わります。(もちろん先程と同じ可換図式も要求します)
alg_d @alg_d 2018-01-01 02:05:43
まったく同じ図式だが「写像の図式」から「関手の図式」にパワーアップ(?)している pic.twitter.com/ATM83snlPm
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alg_d @alg_d 2018-01-01 02:10:22
さて、strict 2-categoryの定義は大体こんなイメージ(2-morphismというのが加わっていて、それなりの良い条件を満たしている)ですが、ここで先程の図式をよく見ると「関手の可換図式」つまり「関手の等号」が成り立つことを要求しています。
alg_d @alg_d 2018-01-01 02:11:09
しかし圏論をやっていればご存じの通り「関手の等号」というのは相当強い条件であるので、ここは「関手が同型(自然同型)であればよい」という条件に弱めたくなるのが人情(?)です
alg_d @alg_d 2018-01-01 02:12:27
そこで、そのように弱めたもの(ただし、代わりに+αの条件は付けくわえる)をbicategory (weak 2-category)といいます。
alg_d @alg_d 2018-01-01 02:15:25
つまり、このように「次の自然同型α, λ, ρが与えられている」という風に弱めます。 pic.twitter.com/ARPPS8aK4o
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alg_d @alg_d 2018-01-01 02:17:53
このように弱めると、例えば3つの射 f: a→b, g: b→c, h: c→d が与えられたとき、自然同型αの「<h, g, f>成分」は同型 α_{hgf}: (h・g)・f ⇒ h・(g・f) となります。(自然変換の定義に戻って考えると分かります。)
alg_d @alg_d 2018-01-01 02:19:03
言い換えると (h・g)・f とh・(g・f) が同型になります。つまり、bicategoryでは「結合律が同型のレベルであれば成り立つ」という条件になっていることになります。
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