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2018年1月9日のざんさんによるモデル理論のタイプについてのツイート

まとめました。
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p進大好きbot @non_archimedean

Ax-Kochenって超フィルターの剰余体が初等同値なだけじゃなく、連続体仮説の下で同型になることまで示してるのか。。連続体仮説課すとむしろやばい超フィルターの存在が従うのに、剰余体の性質はよくなるんだな。

2018-01-09 18:08:57
ざん @zhanpon

さて、またちびちび付値体のモデル理論でも勉強するかな。ヘンゼル体の理論にいくつか条件を付け加えるとQ_pの公理化ができるらしい。

2013-04-18 12:05:02
p進大好きbot @non_archimedean

@zhanpon 大分昔のツイートへのリプライで申し訳ないですが、1階(完備性が定義できない)でもQpの公理化が出来たりするのでしょうか?

2018-01-09 18:14:35
ざん @zhanpon

@non_archimedean はい、おっしゃる通り1階であることから完備性は定義できません。その結果Q_pを一意に指定するような公理化は不可能です(レーヴェンハイム・スコーレムの定理よりこれはどんな構造についても不可能であることが分かります)。

2018-01-09 18:57:34
ざん @zhanpon

@non_archimedean ここで公理化と言っているのはTh(Q_p) を比較的簡単な文の集合で生成できるということです。RCFがRを公理化しているのと同様の状況です。

2018-01-09 18:57:46
ざん @zhanpon

@non_archimedean 完備性っぽいところはヘンゼルの補題に対応する公理で表現されていて、それに加えていくつか単純な公理をつけ加えることでQ_pの公理になったと思います。

2018-01-09 19:02:03
ざん @zhanpon

@non_archimedean 可算超積はいつでもアレフ1飽和になるので、剰余体の濃度 (連続体濃度)がアレフ1だと分かると同型になるというけっこう単純な理由で成り立ちます。初等同値なM, Nについて|M| = |N| = κ かつM, Nがκ飽和のとき、back-and-forthで同型写像が作れるので。

2018-01-09 19:15:06
p進大好きbot @non_archimedean

@zhanpon ありがとうございます。Rは簡単な公理化ができるのに対し、Qpは漠然と「Qのpでのヘンゼル化と簡単な1階の命題で区別できるのかな」って疑問に思ってのことでした。そんなこと出来るんですね。。

2018-01-09 19:40:24
p進大好きbot @non_archimedean

@zhanpon κ飽和という概念を初めて知りました。ありがとうございます。初等同値性から同型性を導けるなんてすごいですね。(非可算濃度の代数閉体が標数だけで決まるのと似ていますね)

2018-01-09 19:42:42
ざん @zhanpon

@non_archimedean Mがκ-飽和であるというのは「任意のA ⊆ M, |A| < κ, 任意のA上の1-type p に対してMがpの解をもつ」と定義されます。つまりいろいろな性質を満たす元を持っているということです。

2018-01-09 20:15:56
ざん @zhanpon

@non_archimedean おっしゃる通り代数閉体は非常にいい例で、ACF_pについて、A上の1-typeは本質的に1つ(= A上超越的な元)しかないので簡単に飽和モデルになります。

2018-01-09 20:16:09
p進大好きbot @non_archimedean

@zhanpon なるほど。ありがとうございます。

2018-01-09 20:19:41
ざん @zhanpon

@non_archimedean 一方でRを考えると、たとえば無限小元を表す1-タイプ p = {x > 0} ∪ { x < 1/n | n = 1, 2, 3, ......} が実現されていません。ここでRのcountable ultrapowerをとって超実数体R*にすると、アレフ1-飽和になるのでタイプpの解がR*に入ります。

2018-01-09 20:21:24
あり @ta_to_co

飽和モデルいまだによくわかってない

2018-01-09 20:23:51
ざん @zhanpon

@non_archimedean ぜひ付値体のモデル理論を使ってp進の世界を解き明かしてください!!(そして教えてください😂)

2018-01-09 20:25:19
ざん @zhanpon

@ta_to_co 満たせそうなタイプを全部満たしたモデルです!

2018-01-09 20:28:42
あり @ta_to_co

@zhanpon わかるようで、あんまりわからないんですよね。タイプ自体がよくわかってないのかもしれません。解の類似だって言われるのはなんとなくわかりますが、

2018-01-09 20:32:18
ざん @zhanpon

@ta_to_co たとえばQ上のベクトル空間Vを考えます。V = <v_0> (dim V = 1) のとき、「xはv_0から線形独立」という1-タイプは満たされません。V = <v_0, v_1> のときも「xはv_0, v_1から線形独立」という1-typeが満たされません。したがってどちらも飽和モデルにはなりません。

2018-01-09 20:37:03
ざん @zhanpon

@ta_to_co このプロセスを繰り返して、dim V = \aleph_0 になったとき(\aleph_0-)飽和モデルになります。ただしすべての構造がこのような単純なプロセスで飽和モデルにできるわけではありません。

2018-01-09 20:37:47
ざん @zhanpon

モデル理論で出てくるn-タイプというのは x_1, ..., x_n を自由変数にもつ論理式の集合のことで、特に複素数体 (C, 0, 1, +, -, *) 上で考えればn-タイプとC[x_1, ..., x_n] の素イデアルが自然に1対1対応します。

2018-01-09 20:44:47
ざん @zhanpon

ということで代数幾何をやったことがあれば比較的受け入れやすそうな概念だと思うんだけど、やはり論理学的なハードルが少し高いかな?

2018-01-09 20:45:16
p進大好きbot @non_archimedean

@zhanpon あ、そうか、体論の言語ではなく順序込みの言語を考えているのでタイプの定義も順序込みなんですね。ちなみに互いに異なるR^ωのultrafilter同士って、どのくらい剰余体が初等同値になるんでしょうか?(CHの下で、各超実数体はどのくらい互いに同型なのでしょうか?)

2018-01-09 20:50:53
p進大好きbot @non_archimedean

@zhanpon ボケてました。。{x > 0} ∪ { x < 1/n | n = 1, 2, 3, ......} のxがRの外の元に対応するのでRより広いところで順序を考える必要がある気がして混乱しましたが、これ自体はRの論理式の集合{∃y(x=y^2∧x≠0)} ∪ {∃y(1/n-x=y-2∧x≠1/n) | n = 1, 2, 3, ......}でしたね。

2018-01-09 21:07:02
あり @ta_to_co

@zhanpon 有限体を代数拡大して代数閉体を作りました、みたいな感じなんですかね。

2018-01-09 20:51:19
p進大好きbot @non_archimedean

@zhanpon 付値体の無限積(K^ωより広くΠ_{α∈κ} K_αの形)のultrafilterによる剰余体とかどうなってるのかさっぱりなので、モデル理論使えたら楽しそうですね。(僕も教えてほしいです!!)

2018-01-09 20:52:52
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