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解析力学の本の変分法の説明が納得いかない

スバラシク実力がつくと評判の解析力学キャンパス・ゼミ―大学の物理がこんなに分かる!単位なんて楽に取れる! 単行本 – 2010/7 馬場 敬之 https://www.amazon.co.jp/dp/494417876X の変分法の説明が納得いかない。
物理
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積分定数 @sekibunnteisuu
これまでツイートしてきた算数・数学教育について、togetterで、少しずつまとめていこうかと思い立った。
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 友人の子どもが大学で物理を専攻していて、それに触発されて友人も解析力学を勉強中。で私も勉強し始めた。友人が持っている本がこれがamazon.co.jp/%E3%82%B9%E3%8…
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 で、友人はオイラー方程式で、y’とyは独立じゃないのにあたかも独立変数のように扱うのはなぜなのか?という。この本の説明だとよく分からないという。 pic.twitter.com/N9jfFwMPmy
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積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 この説明は私にも理解できない。私は以下のように理解しているが、間違えがあれば指摘してほしい。 滑らかな2変数関数f(x、y)があって、2変数はy=x^2の関係に拘束されているとする。そうするとf(x、x^2)となりxだけの関数とみなせる。
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 xのみの関数とみなしたときのf(x、x^2)の最大値、最小値を求める場合、当然これをxで微分したときが0になるところを探すことになるが、
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 df(x、x^2)/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂y)d(x^2)/dx =(∂f/∂x)+(∂f/∂y)d(x^2)/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂y)・2x となる。
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 ∂f/∂yの部分は一旦yで偏微分してそのあとy=x^2を代入するということだが、f(x、y)=f(x,x^2)だから、∂f/∂y=∂f/∂(x^2)と書いていいのか? そのような書き方があるのかどうか知らないが、オイラー方程式の記法はそういうこと
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 変分法のあの公式、なんていうのか知らない。検索して「オイラー方程式」とあったからそれを使ったけど、オイラーのナントカっていっぱいあるね。まあいいや。
ホセヲ ʞzsɾʎ @yjszk
@sekibunnteisuu かなり前の呟きに対してのmentionにて恐縮ですが。物理学科だとオイラー・ラグランジュ方程式と呼称されていると思います。この呼び方ならほぼ解析力学に文脈を限定できるかと。ご指摘のようにオイラーなんちゃらって多そうですからね。
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分  df(x、x^2)/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂x^2)・d(x^2)/dx という記述が許されているのかどうか、誰に許認可があるのか知らないがこの記法には不都合がある。
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分  f(x,y)でy=xの拘束されているとしたら、 df(x、x)/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂x)ということになってしまう。 前の(∂f/∂x)はfをxで偏微分したもの、後ろの(∂f/∂x)はfをyで偏微分してy=xを代入したもの。
積分定数 @sekibunnteisuu
#物理 #解析力学 #変分 こんな記法は分かりにくくて不便だから使われないと思うが、微積分ってよくよく考えたら不合理な記法が色々ある。 dx^2 これが分子にあるときはd(x^2)、分母にあるときは(dx)^2、こんなややこしいのも平気で使われている。
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu
私の本での説明はこんな感じです。 @sekibunnteisuu さんの考え方でもOKです。つまりは実際は両方の変数を動かしているけど、変化量は別々に考えているだけのこと。 twitter.com/sekibunnteisuu… pic.twitter.com/ZQYvgu4JU5
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積分定数 @sekibunnteisuu
@irobutsu  ありがとうございます。これなら分かります。 f(x,y)でy=g(x)で拘束されている場合、 df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy だから、df/dx=(∂f/∂x)+(∂f/∂y)dg/dx というのと同様、という理解でいいのですよね?
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu
@sekibunnteisuu はいそうです。そういう計算の時は二つの項の和が意味のある量だということになります。
積分定数 @sekibunnteisuu
@irobutsu ありがとうございます。この参考書だと、xとxドットが実際に独立に取れるかのような説明になっていて間違いじゃないかと思うのですが。 pic.twitter.com/qKDajXpiGz
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前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu
@sekibunnteisuu こういう説明結構あるんですが、説明になってないと私も思います。
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
@sekibunnteisuu #物理 #解析力学 #変分 添付画像を見ました。その本のその部分の説明はひどいと思います。大学一年レベルの数学を理解していない感じで、レベルが低いと思いました。解析力学の記号法は違うものを同じ記号で書くと便利なこともある典型的な例です。続く
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
@sekibunnteisuu タグは外した。L(q,q') (q'は本当はqドット)という書き方をするとき、q,q'は少なくとも二通りの異なるものを指し示す記号になっています。一つ目はq=q(t)という時刻の函数とその導函数。二つ目ではq,q'は独立変数。続く
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
@sekibunnteisuu 続き。後者の意味でのq,q'は独立変数なので理由を述べなくても別々に自由に動かせることは自明。別々に動かせる理由を述べる必要があると思った時点でアウト。簡単なことを理解していないことが丸わかり。その本の著者はダメすぎ。続く
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
@sekibunnteisuu 多変数函数を扱うときにはアルファベットが足りなくなりがちなので、あとで導函数としてのq'=q'(t)を代入することになる独立変数も同じ記号q'で書くというスタイルには十分な実用性があります。続く
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
@sekibunnteisuu その代わり読者の側に、文脈によってq'の意味が変わり、同じ記号で異なるものを表わしていることを受け入れてもらう必要がある。そういう負担に耐えられる読者ならガンガン使って問題無し。初心者には以上でしてような説明が必要だと思う。
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
@sekibunnteisuu 2変数函数F(x,y)とそれにx(t),y(t)を代入して得られる1変数函数F(x(t),y(t))の両方をFという1文字で書くというようなこともよくやるので、同じ記号で異なるものを表わすことへの慣れは実用的には必要なことだと思います。
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
@sekibunnteisuu なんでも記号で区別しようとすると、記号にたくさんの修飾をつけることになったりして、見た目がごちゃごちゃして、読み難くなりがち。記号だけに頼らずに自然言語による説明を十分に付けてバランスを取るのが定跡だと思います。
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コメント

積分定数 @sekibunnteisuu 2018年3月16日
まとめを更新しました。
言葉使い @tennteke 2018年3月16日
amazonリンクはhttps://www.amazon.co.jp/dp/494417876X でいいはず。Amazonのメインリンク+dp+ISBNコード。
積分定数 @sekibunnteisuu 2018年3月16日
tennteke 有り難うございます。書き直しました。
kartis56 @kartis56 2018年3月16日
予備校のときにこれで教わったような >F(u,v) u=y v=y' だとか
kartis56 @kartis56 2018年3月16日
ところで、xとy の表記が混在してるほうがよほど気になります。引用文中では x だからそっちに統一しないとややこしくなる
kartis56 @kartis56 2018年3月16日
どこかにyについての別の式があるのかと思ってしまった
marmot1123 @marmot1123 2018年3月16日
変分原理からオイラー=ラグランジュ方程式を導出するときに微分と変分の交換の議論が雑すぎるという話かと思ったら、全然違った。自分も昔は「y(x)が定まればy’(x)も定まるんだから独立なのは謎」と思ってた口。
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