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超準解析にまつわる「不思議」

超準解析が無限小概念を復活させたことが不思議なのではなく,かくも脆弱な論理基盤の上にそれなりに微積分が建設されたことのほうが不思議じゃないですか? 後者の「不思議」はどう解消されるのかという話.
ライプニッツ 超準解析 無限小 ニュートン 数学 微積分
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dif_engine/C94お疲れ様でした @dif_engine
超準解析を勉強してるうちに,超準解析が無限小をいかなる意味で復活させたのかについて理解できるようになってきて「不思議」と感じなくなってきた.むしろ「不思議」なのはあれだけ曖昧な基礎の上に,それなりに微積分の理論が建設され得たことだと思う.
dif_engine/C94お疲れ様でした @dif_engine
もちろん,今日の言葉で言う「各点収束と一様収束の違い」とか色々精密なところで取りこぼしはあったけど,概ね正しいというのは驚異的.
dif_engine/C94お疲れ様でした @dif_engine
話は実は逆なのかもしれないとも思う.仮説:微積分の基礎づけとしての「論理」が非力すぎて,そこに落とし込む過程で無限小が矛盾した表現しか持ち得なかった.メタ数学が発達することによってライプニッツの「頭の中」にあったアイデアをより歪みの少ない形で表現できるようになった.
dif_engine/C94お疲れ様でした @dif_engine
「たら」「れば」の話を真面目にする意味はないけれど,論理がもっと早く発達していたら無限小に死刑宣告する必要はなかったかもしれない.
dif_engine/C94お疲れ様でした @dif_engine
今日の我々が,ライプニッツやニュートンの無限小理解を稚拙なものと評価するのは,「書かれたもの」によって判断しているからだけど,ライプニッツもニュートンにも無限小を適切に言い表す言葉の体系を持っていなかった.
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