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ZFCの可算推移的モデルの存在を加えた理論を、「ゲーデル数を介して」書くか、「定数記号を加えて」書くか、その相違について

てけてけ坊主と申します 事は新版kunenとweaver本(Forcing for Mathematicians)におけるノーテーションの違いから。 明らかな間違いからまとめが始まりますが、 最終的にはω-モデルかそうでないかの観点へと話は落ち着きます 続きを読む
数学 数学基礎論 集合論
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てけてけ坊主 @teke0139
「ZFC+Con(ZFC)からZFCのc.t.m.の存在は導けない」 はわかるし、だから強制法の文脈では 「ZFCの十分沢山の、しかし有限個の文を充足するc.t.m.取って議論する」もそれで十分なのもわかるけど ZFC+con(ZFC)とZFC+c.t.m.存在 は無矛盾等価だからcon(ZFC+con(ZFC))を信じられればこんな説明不要と思う
てけてけ坊主 @teke0139
Weaver本では初めからこのc.t.m.の存在を認めて定数記号Mを追加して議論してた 文字に起こしてわかったけどややこしい 巨大基数バリバリ使う人たちは気にしなさそうな話だし #Weaver本
てけてけ坊主 @teke0139
この等価性どうも嘘っぽいです… 「Forcing for Mathematicians」という本では定数Mを追加した公理系 ZFC^+ = {ZFC}U{ZFC^M}U{Mは可算推移的} を考え、反映原理からZFCとZFC^+は無矛盾等価、だから後者を用いて議論する、という流れでしたが続
てけてけ坊主 @teke0139
そもそもこのZFC^+ZFC+c.t.m.存在同じものとみなしちゃいけないっぽいですね… (だからZFC+con(ZFC)まで潰して考え、間違えた) 今のところc.t.m.存在がZFC+con(ZFC)から出ない(後者が真に強いことはない)ことだけは理解しています
てけてけ坊主 @teke0139
うーーーん、ややこしい…… 今回のZFC^+とc.t.m.存在が全然違うものなのもよくわかってない…… (またややこしく考えてるだけ説ある)
てけてけ坊主 @teke0139
てか前の間違えた議論、ZFCとZFC+con(ZFC)が等価になってる時点でおかしいと気づくべきだ
てけてけ坊主 @teke0139
ん、待って、「ZFCのc.t.m.が存在」ってもしかして、算術式で書いたCon(ZFC)に、可算推移的を連言するだけで書けちゃうの? (Con(ZFC)と完全性から得られるのは∈-モデルとは限らないからまだ微妙な気がするけど、事は単純かも…)
てけてけ坊主 @teke0139
思い出した set modelの充足性は再帰的に枚挙可能な理論なら、適切にcodingしてあげることで、そいつとωのrelationで記述できるんだった 真理定義不可能性に気を配り過ぎてたから基本的なこと忘れてた ややこしい
XX@体力強化 @math_freedom
てけてけ君のいうところの有限部分のc.t.m.を取る話とZFC^+で考える話はkunen(旧版)の7章9節にあった気がする
XX@体力強化 @math_freedom
そもそもc.t.m.の存在はCon(ZFC)よりも真に強い仮定では?
XX@体力強化 @math_freedom
あとZFC^+とc.t.m.の存在の間に生じる「違い」って何を想定してるのだろうとも思いました
てけてけ坊主 @teke0139
@math_freedom お休みの所すみません いえ単純に無矛盾性の強さの話でして ここで言うZFC^+は反映原理の議論よりZFCと無矛盾等価にも関わらず、後者は明らかにZFCより強い(もっと言えばCon(ZFC)よりも)位置にいる点どこが違うのかなと 混乱の末、無限個の論理式で書かれるか有限個かの違いで一旦僕は腑に落ちました
XX@体力強化 @math_freedom
@teke0139 なるほど、一見、同じ主張の別表現のように見えるが無矛盾性の強さが異なるのは何が原因か?ということでしたか。 前者はメタ理論において∀φ∈ZFC(M|=φ)、つまりM|=ZFCですが、ZFC^+からCon(ZFC)を証明することはできない点は決定的に異なる点かと思います。
Eureka GAP @j_tGAP
先ほどRTした疑問に関連する次のような記事を見つけました。各論理式へのMへの相対化と、ゲーデル数によるコード化を介した「Mはhogeのモデル」という表現、これら2つはどう違うのかについての説明です。 mathoverflow.net/questions/5175…
Eureka GAP @j_tGAP
この記事に書いてあることを改めて述べます。集合論の言語に新たにMという定数記号を加えて、ZFC+(ZFCに含まれる論理式のMへの相対化たち)という公理系Tを考えます。ZFC+Con(ZFC)を仮定するならば、反映原理とコンパクト性定理を使ってTのモデルNがとれるはず。(続く)
Eureka GAP @j_tGAP
Nにおける定数記号Mの解釈はZFCのモデルになっているが、ということは、NこそがZFC+Con(ZFC)のモデルになっているのでは?でもそれは不完全性定理に矛盾するのでおかしい。実はMは「Nにおいては」ZFCのモデルになっていない。(続く)
Eureka GAP @j_tGAP
ポイントはNが超準自然数を含むかもということ。NにおいてZFCの公理が超準自然数でカウントされるなら、「メタ理論におけるZFCの公理(のゲーデル数たち)」よりも「NにおけるZFCの公理(のゲーデル数たち)」のほうが多い。Mは超準自然数でカウントされる公理を満たすとは限らない。(続く)
Eureka GAP @j_tGAP
以上記事をそのまま訳しただけの説明でしたが、結局あっちとこっちのモデルのωは同型じゃないかもというのが面倒な事情を引きおこしているようです。このことは少し前の殿下の連ツイでも述べられています。 twitter.com/tenapyon/statu…
Eureka GAP @j_tGAP
他にもこんな記事が。Con(ZFC)を仮定してもZFCの可算推移モデルがとれないのは何故かという話です。端的に言えばwell-foundednessの問題なのですが、この記事の回答で超準自然数を含むようなモデルの例(超冪モデル)が挙げられています。これも読むと勉強になるかも。 mathoverflow.net/questions/5722…
Eureka GAP @j_tGAP
これらが元の問題の直接的な回答になっているかは分かりませんが、集合論のメタな話で悩んでいる人にとってこれらの記事は良い参考文献になるかと思います。一旦終わり。
てけてけ坊主 @teke0139
GAPさんからのレスポンス、完全に理解したと思う コンパクト性を使う所は若干ナイーブに見えるけど、要はX君も指摘した通り ZFC^+|-Con(ZFC) とは限らないことの表れが¬Con(ZFC)を導くかもしれない超準自然数の存在なわけか こういう説明の仕方もある!
XX@体力強化 @math_freedom
元の記事を読んでいないのだけれど、反映原理によってZFCの任意有限個の論理式のモデルをとれるからコンパクト性定理によってZFCのモデルをとれる、という論法はまずいのでは?と思ったのですが
Eureka GAP @j_tGAP
@math_freedom 具体的にはどこがまずいと思いましたか?
XX@体力強化 @math_freedom
@j_tGAP 反映原理は有限個の論理式が与えられる"毎に"主張が成り立つというメタ定理ですよね。ですが、コンパクト性定理の仮定で要求されていることは、このような有限部分モデルを"一斉に"とれることなのでは?という点です
Eureka GAP @j_tGAP
@math_freedom コンパクト性定理の仮定も有限部分毎にモデルをとればよいと思いますよ。そういうことではない?
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