くっちんぱ写像講義

くっちんぱ @kuttinpa

そういえばにゃんふが写像わからんっていってたけど何がわからんのかな。具体例だしてもわからんのかな

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@nyamph_pf 集合Aと集合Bがあります。Aの要素ひとつひとつにBの要素（１つ）を対応させるとき、この対応を写像といいます。たとえば

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@nyamph_pf Aを｛にゃんふ、くっしー、かしつき、いちょう｝として、Bをアルファベットの集合{}

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@nyamph_pf Bをアルファベットの集合{a,b,c,...,z}として、「ID名の最初の一文字を対応させる写像f」というのを考えると、f(にゃんふ)=n、f(いちょう)=iとなる。これを写像という

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@nyamph_pf 「AからBへの写像f」を「f:A→B」などとかく。他に、g:R→R（Rは実数）で、g(x)=x+1なんて写像を考えることも出来る。こういう写像は高校では関数と呼ばれていた

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@nyamph_pf 次に全射と単射の説明。「写像f:A→Bが単射とは、x,y∈Aについてf(x)=f(y)⇒x=y」という定義。分かりやすく言えば、「Aの要素が異なれば対応するBの要素も異なる時、単射」ということ。さっきのfはf(くっしー)=f(かしつき)=kなので単射でない

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@nyamph_pf そしてNを自然数の集合として、h:A→Nを「IDの文字数を対応させる写像」とする。するとh(にゃんふ)=9、h(いちょう)=5、h(くっしー)=10、h(かしつき)=7なので、異なる要素が異なる要素に対応しているから単射

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@nyamph_pf 全射は、「どのBをとっても対応するAが存在する」こと。逆に言えば、「対応するAの要素が存在しないようなBの要素があれば全射でない」。さっきのfは、たとえばaやbに対応するAの要素がないので全射でない

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@nyamph_pf ただし、アルファベットの集合ではなくC={i,k,n}という集合を考え、似た写像f':A→Cを考える(対応はfと同じ。)すると、すべてのCについて対応するAの要素があるからf'は全射。このときf'は全射だが単射でないのに注意。hは単射だが全射でない

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@nyamph_pf ラスト、全単射。全射かつ単射であれば全単射。これまで考えたf,g,h,f'では唯一gのみが全単射。全単射な写像は、逆写像というものを考えることが出来る(全射でなければ逆にたどれないし、単射でないと対応する要素が2つ以上あるから写像の定義に反する)

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@nyamph_pf gに逆写像があるとき、その逆写像をg^(-1)なんて書いたりする。今回の例では、g^(-1)=x-1。以上、写像の基本的な説明終わり。