レクチャーから一夜：『リーマン予想が選択公理から証明されるのはなんだか敗北感がある』『一般化されたリーマン予想ってZFC配下で選択公理使ったらダメなの？』

世界クルミ@劇場版製作中 @Kurumi_Ojisan

リーマン予想の証明自体は毎年のように間違った証明があがるので珍しくはないのですが、今回は名著「可換代数入門」の著者のアティヤさんが証明を発表したのでちょっとした騒ぎになっていますね。「可換代数入門」は日本語版もあるので興味のある方は見てみるといいかもしれません。（ぬ）

世界クルミ@劇場版製作中 @Kurumi_Ojisan

ちなみに私は証明を見ていませんが、私が知っている範囲では結構ボコボコに言われているので、例年通りの気配を感じております。（ぬ）

やでとも＠川をむいて食べる @yaden_t

リーマン予想が選択公理から証明されるのはなんだか敗北感がある

∃A∀x[¬(x∈A)] @pop_

ついにリーマン予想が証明された！？ blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/721… @ktonegawより アティヤって人知らんかった 一般化されたリーマン予想ってZFC配下で選択公理使ったらダメなの？ Shoenfield絶対性は今度調べる（遠い目

V-alg-d（ZZ） @alg_d

選択公理初心者なのでRiemann予想がZFCで証明できればZFで証明できるの知らなかった……

４４３ @p4r4i3me

やっぱり選択公理って大事なんか‥がんばろ

Takayuki Kihara @tri_iro

なんかアティヤ先生が論文中で「リーマン予想の証明にはZFは不十分で選択公理を必要とする」とか書いてるみたいなことが目に入ったんですけど、そこだけは確実な誤りですよね？　リーマン予想はΠ_1文なので、Shoenfield絶対性から、もしZFCでRHが証明可能なら必ず選択公理なしでもRHは証明できるので。

のらんぶる @nolimbre

@tri_iro 論文中での証明は ZF におけるものではない，という言明なので，ZF において証明不可能だというふうに書いてあるわけではありません．

Takayuki Kihara @tri_iro

@nolimbre なるほど、あくまで（選択公理なしの証明に書き直すことは可能だが）ここに書かれている証明はZF-proofではない、という程度の主張なんですかね。ただ、アティヤの証明がZF-proofでない理由の明確な説明がないんですが、どの部分で選択公理を使ってそうだとかご存知ですか？

のらんぶる @nolimbre

@tri_iro いえ，選択公理を使ってそうな場所は全然わかりません．証明が self-contained な形では書かれていないので，投稿中だという [2] の論文で使われてるんだろうかとは思いますが……．

Takayuki Kihara @tri_iro

@nolimbre なるほど〜、ありがとうございます。

スマートコン @mr_konn

いや、「ゲーデルの意味で ZF からは undecidable だろう」と書いてあるように読めるし、つまりそれは独立だと言う主張のはずなので、少なくともその部分は明確に誤っているのでは。

スマートコン @mr_konn

@tri_iro @nolimbre 横から失礼します。本文５ページ目に"the proof of RH in this paper is by contradiction and this is not accepted as valid in ZF, it does require choice. I fully expect that the most general version of the RH will be an undecidable problem in the Gödel sense."とあり（続）

スマートコン @mr_konn

@tri_iro @nolimbre まず1段目では「選択公理を使っているからこの証明はZFではvalidではない」と主張しているかと思います。まずこれは、やはり tri_iro さんの仰る通り勇み足で、Shoenfield 絶対性からZFでも証明できる、と言うことを見落としているという意味で誤りではあると思います。（続）

スマートコン @mr_konn

@tri_iro @nolimbre この部分では nolimbre さんの仰るように「この証明は」と断っているので、RHそのものがZF-unprovableだとは言ってないように読めます。ただ後段は、たぶん RH ではなく GRH がGodelの意味でundecidable (= 独立）に違いない、と急に述べていて、

スマートコン @mr_konn

@tri_iro @nolimbre 特に根拠は示していません。文の流れから勘案して「RHには選択公理が必要そうな気がするし、だったら尚更 GRH はZF(C?) から独立に違いない」という論旨に解釈できるのではないかと思うのですが、どうでしょうか。

Takayuki Kihara @tri_iro

@mr_konn @nolimbre 単に自分の証明に選択公理を使っているというだけでは、普通はそれをわざわざ重要そうな感じに書きはしないでしょうし、選択公理が除去できなさそうだと考えてはいたのでしょうね。まあ基礎論の人でない限りShoenfield絶対性を見落としてしまうのは仕方ない感じもします

p進大好きbot @non_archimedean

@mr_konn それってどちらの記述ですか？　RHではなくその一般化（依然未解決）に対してはundecidableだろうという記述はあったと思いますが。

スマートコン @mr_konn

@non_archimedean この部分は私の誤読でしたね……。ただ、いまtri_iroさんとnolimbre さんに飛ばしたリプライで述べたように、アティヤはRHには選択公理が必要でZF-unprovableだと思っていそうな流れだとは思います。

p進大好きbot @non_archimedean

@mr_konn なるほど。もっと形式的な意味で「AC使っている以上ZFの証明文でない」程度とも思いましたけど、だとしても何で唐突にそれに言及したかを考えるとやっぱりZFで証明不能かもしれないって思った可能性はそこそこ濃そうですね・・。

Time Arrow @chaos563_29

Atiyaの３ページのAbstract論文の最後まで読むとGeneralなリーマン予想はZFCの枠組みでは解けない(Undecidable)と書いている、それがランダムネスと関係があると書いてあるが、結局一般的なリーマン予想が解けないことの証明なのだろうか。#リーマン予想

Time Arrow @chaos563_29

こんなNewsも。#abc予想 quantamagazine.org/titans-of-math…

Time Arrow @chaos563_29

結局数学者が一般人を撹乱する一週間となるかもしれない。