昔のソリトン、今のソリトン

ティファニー @kyow_Q

つまりn-ソリトン解の存在は、解空間が線型空間にはならないものの無限次元リー群GL_∞の等質空間になり、そのGL_∞の作用によって一つの解から様々な解が構成される、そういう事情によって担保されているものだとわかり、場の量子論的な空間と関連してその意味合いは物理と絡まりより深みを増す。

ティファニー @kyow_Q

解空間にでかい群が作用している、この演算が解を生み出す。これがKdVが厳密解のシリーズをもつ事の秘密だった訳ですね。非線形なせいで無限次元の対象が出てきてしまいますが、それでもでかい群で制御されている非線形微分方程式が存在するというだけでもな訳ですね。

ティファニー @kyow_Q

他にも代数幾何、共形場理論、二次元超重力理論、シンプレクティック幾何、より一般の無限次元リー環の表現論、まあよく知らないですけど色んなものの結節点に座する存在なので力不足なのも今眠いのもあって到底語り尽くせませんがとりあえずソリトンの数理を読めばこういう話が書いてあるので是非

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@kyow_Q 面白いです。参考になりました。こういう構造で捉えられるのか。不勉強で失礼しました。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

KdV方程式なんて40年ぶりに話を聞いた気分。夏の学校で、確かD1の時に長岡洋介先生から擬1次元金属のTTF-TCNQというのが発見されて、電荷密度波もある、これと1次元系のスピン密度波もあることから、当時の核物理で話題になったパイ中間子凝縮相もあるかも、という話題。松井哲男さんが世話人でした。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

40年前の核物理のホットな話題の一つに、原子核の内部で高密度になると、例えば中性子星の内部では、核力を媒介する中間子が、リアルに凝縮するかもしれない、その前兆現象が見えるかもしれない、という話題があった。そのヒントを物性物理に得ようと松井さんが、京大基研の物性の長岡先生を呼んだ。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

長岡先生は、TTF-TCNQで発見された擬1次元構造で、それは有機物だけど導電性を持つこと、電荷密度波も起こること、それらがどういうロジックだったか忘れたが、その文脈で1次元ソリトン解を持つKdV方程式やサインゴルドン方程式も話されたと思う。だから最近のKdV方程式の理解の発展には驚愕した次第。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

40年数前に中間子凝縮が核子多体系で起こると言い出した時代、核子核子散乱や核力が専門だった京都大学理学部物理の玉垣良三教授が提唱したモデルが、核子系の固化と言うべきALS構造、Altenating Layer Spin構造。これがまさに1次元方向に陽子・中性子、スピン上・下が、交代して層化する模型だった。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

中間子凝縮のALS構造の理解を深めようと松井哲男さんが提案したのが、私がD1の夏の学校での長岡洋介先生の講義だった。私はこの時初めて、核物理の理解深化に物性物理が役立つという経験をした。この講義の冒頭が確かKdV方程式。それが今ではもう非常に広い視野から理解が進んでいて、まさに感動もの。

ティファニー @kyow_Q

どうやらこういう古典的話題に対してKdVやらの古典可積分系理論が大変貢献したらしいという事だけ述べておきます() 初めは水路の波を記述する非線形微分方程式をしていたのに、代数幾何の深い話題にまで辿りついてしまうのがこの辺の話の興味深く、度量深いところだと思います

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

なんと、1980年代にそういった大発展があったようですね。驚きました。ご紹介、ありがとうございました。（知らなかったのは残念） twitter.com/kyow_Q/status/…

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

最近のソリトンの扱い、不勉強というか、ずっとソリトンと無関係に生きてきて、まったく知らなかった。1980年代に、佐藤幹夫先生によって「ソリトンの数学」で大きな発展があったようだ。それを言っていたんですね。このあたりとか。researchmap.jp/muc6bjl2m-2643… 驚きもいい加減にしてもらいたい。