3倍の法則(rule of three)のはなし

ツイートのまとめの後に、3が出てくる理由を追記しました。
確率 近似 セルフまとめ
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宇宙物理たん&けみかたんのツイート
宇宙物理たんbot@学術系VTuber @astrophys_tan
「確率1%の10連を10回回しても37%出ないの定理」の詳しい説明は雑誌ニュートンさんの最新号をご覧くださいましね💓🎲✨ amazon.co.jp/dp/B07ML9Y8Z7/ pic.twitter.com/UTjfj7Ksdw
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けみかたん(化学/生物)準冬眠 @chemica_tan
>RT 俗に3倍回せと言いますよね。 N回に1度起こる事象は、3N回試行を繰り返すと約95%の確率で叶えられるってやつです。 0.7%の確率で引けるカードなら140回に1回と考えて、420連回すくらいは覚悟したいねと言う話です。
けみかたん(化学/生物)準冬眠 @chemica_tan
Nが20以上で良い近似を与える感じです。
その名はrule of three
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
これは統計方面でいうrule of threeの変形ですね! Rule of three (statistics) - Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_t… twitter.com/chemica_tan/st…
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
「100回に1回の割合で成功する事柄は、300回繰り返せば約95%の確率で成功する」 同じことだけど、 「成功確率1/100だとしても、『300回やっても当たりが出ない(300回連続で外れる)』ことが約5%ある」 こっちの言い方で語られることも多いです。
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
一般化すると、 「θ回に1回の割合で成功する事柄は、θの3倍回繰り返せば約95%の確率で成功する」 この「3倍」という係数は、θが十分大きければ(成功確率が0に近ければ)θの値によらないんですね!これが、rule of threeです。
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
いくつか視点を変えた言い方があります。 「成功確率1/θだとしても、『θの3倍回やっても一度も成功しない』ことが約5%ある」 「試行をn回繰り返して一度も成功しない結果になったとき、成功確率の95%信頼区間を[0, 3/n]とする」
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
このrule of three、色々便利に使えて、けみかたんのようにガチャがほぼ確実に当たるまでの回数に見当をつけるのも一つ。ほかには医学分野で稀な事象(珍しい疾病・副作用とか)を捕捉したいとき、何人調査するかを決めるのにも適用できます。
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
1000人に1人と見込まれる疾病について、3000人を対象に調査すれば約95%の確率で1人以上捕捉される、ということです。
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
ところで、現実世界の問題では、「成功確率なんか知らないよー」というのが普通ですよね?300回やって全滅だからといって、絶対に成功しない事柄とはかぎりません。その結果は、真の成功確率が1/100だとしても約5%の確率で起こるから…!
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
「証拠の不在は、不在の証拠にあらず」ってやつです。さらに人間が運営するガチャなら、当たりがないことはないだろうし、覚悟を決めてから突っ込むのも一つの生き様として私は否定しませんよ!(ただし自己責任で)
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan
@chemica_tan ちょっと実験してみました。「設定確率p = 1/θ」のガチャを、θの3倍回回したときの「全部外れ」確率です。確かにだいたい5%に近づきます。 pic.twitter.com/UrddGpSQsQ
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係数の3はどこから?

「3」を導いてみます。

ガチャの設定確率をp(= 1/θ)として、
n回連続外れの確率は
(1−p)^n
「xθ回連続で外れる確率が5%になる」の方程式は
(1−p)^xθ = 0.05

式の両辺の対数をとって、
xθ log(1−p) = log(0.05)
⇔ x (log(1−p) / p) = log(0.05)

左辺のかっこ部分は、pが0に近い(θが十分大きい)とき、
(log(1−p) / p) ≈ −1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln(1-p) / p; p = 0 to 1

よって、
x ≈ −log(0.05) = 2.995…

というわけで、係数は近似的にほぼ3(定数)となりました!

ちなみに、90%の確率で当たる(10%の確率で全部外れ)の場合や99%の確率で当たる(1%の確率で全部外れ)の場合も論理は変わらないので、
−log(0.1) = 2.302…
−log(0.01) = 4.605…
とそれぞれに対応する係数を計算できます。2.3と4.6としちゃってもいいかな。

(余分な話。Wikipediaのページにある導出は、気になる箇所が…。まあ大方の人は気にしないのかも…?)

コメント

K.Yanagisawa @K_Yana47 3月13日
この程度単純なことが理解できないソシャゲガチャ難民のなんと多い事か。なかなか当たりを引けないと必ず「確率弄った」と口にする。5歳児に「ボーっと生きてんじゃねーよ!」と叱られて来い!
イチロー @sbzkichi 3月13日
3倍ハマりぐらいまではよくあるとパチで学んだ。
ヒロセジロウ✏️ @denjiro13 3月13日
マンガとかでもオラオラ系主人公?とかが「成功率1%?なら100回やりゃあいいんだろ?(ニヤリ)」なんてシーンあるけど、そんときゃ鼻で笑ってやりましょう
Alpha with CUB&GSR @2525_Alpha 3月13日
というか、これって正規分布におけるいわゆるポアソン分布のことだよな…
まっぴー @WhoThenNoFire 3月13日
3倍課金したいから賃金3倍にしてくれ
ぱんだぴ @PanMixi0 3月13日
しかも一回一回の試行は独立しているので、最初に100回引いて当たる確率と、100回外れた後さらに100回引いて当たる確率は同じ。だから外れた人はとことん外れ続けているように感じる。
サイエソ @sai_lobster 3月13日
やっぱfgoをはじめとしたガチャゲーは糞だな。
K.Yanagisawa @K_Yana47 3月13日
sai_lobster クソとかそう言う問題ではない。完全確率というものへの理解をしろという話だ。
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan 3月14日
@K_Yana47 客観的な確率でやめたりしない気がします。いくらの確率で何が起こるかの理解とは別に、運よく当たりたい、当たったらバンザイと思ってるんじゃないでしょうか。「確率が低いからやらない」なんてことはなく「低ければ低いほど熱くなる」すらありそうな気が…。
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan 3月14日
@denjiro13 漫画なら「成功率1%?1回だけで十分だ(ニヤリ)」のほうが好きです。
計量たんは穏やかに暮らしたい @Keiryo_tan 3月14日
@2525_Alpha そうです!実質的に(正規分布ではなく)二項分布のポアソン近似にあたります。なるべく専門的な用語を使わず説明したかったのでこうなりました。ポアソン分布(λ=np)のP(X=0)のところの確率を見てるわけです。
水辺の人 @mizubenohito 3月23日
確率の分野は直感に反することが多いので苦手じゃ。一度直感的に正しいと信じると、今度はそれを再考するという発想もなくなるし。 確率ムズいです。
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