駒場現代物理学2019 衛星授業 第三回

Masaki Oshikawa (押川 正毅) @MasakiOshikawa

明日4/26(金)5限(16:50〜) 東大駒場キャンパス761教室で開催の 「トポロジーと物理：2016年ノーベル物理学賞の奇妙な背景」 ですが、 #駒場現代物理学2018 や #駒場現代物理学2019 の通常授業への参加の有無を問わず歓迎です。物理的内容がわからなくても、それなりに面白いと思います。 twitter.com/wt538/status/1…

ワタ @wt538

今日4/26の5限に、去年の #駒場現代物理学2018 特別編@.761 4/30(火)はGWだけど授業 5/10(金)は押川先生が海外出張だが、シミュレーションのチュートリアルをTAさんに頼んでやってもらう予定らしい 5/17(金)は普通に授業 5/24(金)も10と同じ感じの予定 5/31(金)1限に補講 #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/5Ov46eLLg8

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ワタ @wt538

今日のまとめ ・"破産"があるギャンブルを吸収壁ランダムウォークで解析できる ・破産しない人はどんどん少なくなるが、期待値は変わらないまま ・ラスベガスに拒否された物理学会 ・2吸収壁にすると無限の鏡像が必要 次回の予告 ・2吸収壁問題を別の方法で考えてみよう #駒場現代物理学2019

ワタ @wt538

前回はランダムウォークと鏡像法でカタラン数が解けるよという話をした 今回はその応用で、「フェア」なギャンブルを考えよう 半々の確率で、勝つと賭け金の2倍がもらえて、負けると没収されるとする #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/cHGoFUXR8V

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儲けの期待値を計算すると0なので、これは「フェア」なギャンブルだと考えられる 参考までに現実のギャンブルの例としてルーレットを考えよう。36までの数字があり偶奇どちらの枠にボールが入るかを当たると2倍 「一見フェアなんですけど、これだと胴元が儲からないので...笑」 #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/FhaKzoWoSP

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実は1〜36だけじゃなくて0と(アメリカだと00も！)あって、これは偶数でも奇数でもない数として、ここに入ったら全部没収されてしまう だから、儲けの期待値は-5%でやっぱり胴元が儲かるようになっている(けど、ビジネスとして儲かるかはそれは別問題) #駒場現代物理学2019

ワタ @wt538

賭けたお金のうちだいたいどのくらい帰ってくるかをみるのが還元率 現実のギャンブルだとまぁ低い... 「まぁ宝くじは何週間かのわくわく感を買うみたいなもの。別に回し者じゃないんですけど笑」 #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/lZHXer0dMg

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ワタ @wt538

簡単のため、現実からは離れて"フェア"なギャンブルを考える 毎回1ドル賭けることを繰り返すなら、これはランダムウォークの問題に帰着(1/2で1ドル増えて、1/2で1ドル減る) すなわち、n回の賭けの後の所持金の確率分布は2項分布になる #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/Dsy03co0bv

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nが十分大きいとして連続極限を考えると、正規分布になって、その幅(つまり標準偏差)はだいたい√nで広がっていく(これはランダムウォークの大事な特徴の一つ) n回賭けた後にだいたい儲かる確率は1/2になってる #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/TqZXAJc6QD

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しかし！これだと所持金が負になることも許してしまっている。お金がなくなればそこで終わりのはずなので、一度0になれば終わるような条件で解析しないといけない→吸収壁のランダムウォーク！ これは鏡像法で解ける(前回やった話) #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/pNsV1TIblK

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ワタ @wt538

n回の賭けの後に破産している確率を求めたいが、直接求めるのはちょっとめんどくさいので、破産していない確率を考えてやる 儲けが-m_0以上である確率から、儲けがm_0以上になる確率(鏡像法で引く部分)を引くから、儲けが±m_0に収まる範囲が求める"生存確率" #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/Uj35ymd1eL

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ワタ @wt538

ちなみに、ここで連続近似をしてしまうと無限に広がるので、n<m_0でも破産確率が正になるバクが起きてしまう(安直な連続近似には気をつけようねという話) 試行回数がそんなに多くない時、i.e.正規分布の広がりの幅が初期資金に比べてそんなに多くない時は、ほとんど破産しない #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/YjEcLfgjhf

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( ⩌_⩌.)っ🥬かて。 @seyakate_Kudo_N

近似のartifactがよくわかってない #駒場現代物理学2019

ワタ @wt538

逆に、試行回数が十分多いなら、Σで足しあげる範囲で確率はほとんど変わらず一定と思える。"ちょうど"とんとんになる確率はだいたい1/√nで減っていくから、生存確率もだいたいこれに比例して減っていってしまう... "フェア"なはずなのに絶対破産してしまうという結果に... #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/4tkyVAhqjU

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ワタ @wt538

生き残ってる人はどんどん少なくなるけど、期待値は0のまま変わらないはずなので、少数の人がめっっっっちゃ金持ちになってしまう、とも解釈できる 完全にフェアな場合でこれなので、胴元が得をするようになってる現実だと、「やっぱりギャンブルは割に合わない」 #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/6px7BbBM0u

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ぼつけん @ohen2520

えっこれ期待値m。のままなん？(割と非自明な気が) #駒場現代物理学2019

ワタ @wt538

破産がないとすると得をする人は50%だが、つまりこれらの人の大多数は一回は破産していることになる 「賭博は人間の本能を刺激するようで、昔からいろんな地域いろんな時代で賭博はあった。大抵規制するけど、日本だとほとんどカジノみたいな場所が街中にあったり...」 #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/2ibgDkhTsC

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ワタ @wt538

物理の話に戻ろう。ランダムウォークの連続極限で、拡散方程式が得られた。また、局在した初期状態はデルタ関数で書け、吸収壁は境界条件としてかける。解は拡散方程式の線型性から、鏡像法により特殊解の重ね合わせで求めることができた(ここまで前回) #駒場現代物理学2019 pic.twitter.com/PAYdP5K1ba

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ワタ @wt538

これ、統計力学ゲームを思い出した #駒場現代物理学2019

ワタ @wt538

「"ビジネスの天才"として6つぐらいカジノやって、全部経営不振で潰れちゃって、会社も3回か4回ぐらい潰した人もいます。ちなみにその人が今なにやってるかというと、アメリカの大統領やってます」 #駒場現代物理学2019

はるふぃ @hal2000_phy

Interstate 15の高速道路沿いにはネバダ州に入ったとたん無限にカジノが並ぶ #駒場現代物理学2019