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Massimo @Rainmaker1973
The bizarre physics of Slinky: when released, the bottom of the spring does not fall immediately. Learn why bit.ly/2stzFkd pic.twitter.com/hL6qzUkPzt
積分定数 @sekibunnteisuu
twitter.com/Rainmaker1973/… これ、なんでこうなるのかが分からない。物理の問題でありがちがバネの力が変位に比例する、として、質量mの物体がバネでいくつも連結されているモデルで運動方程式を立てても、この動画のような結果は得られなかった。
積分定数 @sekibunnteisuu
手を離した瞬間、重心はgで下に落ちる。重心に視点を置けば、上下に単振動する運動になると思う。三角関数と2次関数を足しても相殺されない。
Pagliacci🌒D進したフレンズ @WStheory
確か時枝さんの解説を読んだ気がする。 バネの下端はt^4に比例して落ち始めるから止まってるように見えるのが結論だったはず。 twitter.com/sekibunnteisuu…
Pagliacci🌒D進したフレンズ @WStheory
t>0でバネは縮み始めるがこの運動をt=0を中心にt<0に反転させて解析接続すると、この運動は反転対称だからtの偶関数。ただしt=0ではt^2の項がキャンセルするのでt^4で落下する。
積分定数 @sekibunnteisuu
運動方程式は簡単に立てられるし、微分方程式が線型になるから割とすぐに解けると思ったけど意外と難しい。 沢山の質点がバネに連結されているモデルだとかえってややこしくなってしまう。 最初から連続したもので考えた方がかえって処理が楽
積分定数 @sekibunnteisuu
結局、∂^2Φ/∂t^2=-a∂^2Φ/∂x^2 を解けばいいことになり、 この一般解は f(x-vt)+g(x+vt) v=√a なんだけど、x=0とx=L(バネの自然長)で、∂Φ/∂x=0という条件を満たさないとならないようだ。
積分定数 @sekibunnteisuu
そうするとどうも一般解はΣA(k)*cos(πx/L)*cos(πvt/L) となりそうだ。 これが、外力を受けていない場合のバネの挙動 今回の場合、重力を受けているが重心系で考えればいい。 で、あとは初期条件を入れれば、今回の場合のバネの挙動が分かるだろう
積分定数 @sekibunnteisuu
そこからこの結果が得られればいい。すでにcosの項しかないから、テイラー展開して偶数項のみである。初期条件で4次以上しかないことを示せばいい。 twitter.com/WStheory/statu…
積分定数 @sekibunnteisuu
ざっとやったけど、ここまでで間違いがあるかもしれない。もう一度検証してみる。こういうのって昔、物理数学の本でちらっと見た気がする。当時は自分の興味関心が抽象的な数学に移っていて、この手の具体的な問題でゴリゴリ計算することに興味がなかった。やってみると意外に面白い。食わず嫌いだった
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu 手を離したことがバネの反対側に伝わるのに時間がかかること自体は、バネの中で何らかの波動方程式が成り立つこと、波の伝わる速度が有限であること、を考えれば当然と思えるかもしれません。そして波の速度より落下速度が速いとああなるかも?と思いましたが、こちらはあまり自信はありません。
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu 上記の解釈で正しい気がしてきました。このバネの自然長がゼロで、斥力を及ぼさないことも重要ですね。上への引っ張りが弱くなったことが下へ伝わるよりも速く上から順に「つぶれていく」ことであの結果が得られそうです。後は落ちる速度より波の速度が速くなることがあるのかどうか。
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu お騒がせしてすみません。簡単には再現できないことをようやく理解しました。今のところパラメータによらず重力より上下端へのバネの張力の方が強くなるため、上端と下端とが重なるまでに重心は下から1/4の点からほとんど移動しないという結果を得ています。何か見落としていないか考えています。
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu 直前の投稿、初期配置を間違えていました。直したところ、gist.github.com/osamutake/b57f… のコードで添付の結果を得ました。k, m, g のパラメータを変えても下端の持ち上がりにはほとんど影響がないようなのですが、そのあたりまだよく理解できていません。 pic.twitter.com/y29o3PQSVk
積分定数 @sekibunnteisuu
@osamu_takeuchi >重心は下から1/4の点からほとんど移動しない 重心はgt^2/2で落下しないとおかしいと思います。 私は、初歩に戻って、重力の影響を考えないで、バネに質点が連結されている場合から考え直しています。
積分定数 @sekibunnteisuu
これ考え出すとややこしいし、いろいろ不明な点も出てきた。
積分定数 @sekibunnteisuu
有限個の物体がバネで連結されている場合の運動から考え直す。重力のことは一旦忘れる。あまり一般的な場合を想定してもややこしくなるから、連結しているバネは同じ種類(自然長とバネ係数が等しい)で、物体の質量も同じとする。
積分定数 @sekibunnteisuu
これで、両端を固定するとか、自由端にするとか、片方は固定端で片方は自由端とかのケースがある。 例えば、バネの一端が固定されていて ーバネ-質点ーバネー質点 でも結構複雑になる。
積分定数 @sekibunnteisuu
いずれにしても、あるn次元ベクトルxが時刻tの関数で xの2階時間微分=Ax という微分方程式を解くことに帰着される。Aはn次正方行列 n=1ならxは三角関数になるわけだけど、Aが行列だと厄介。
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu 「ほとんど移動しない」のは上端と下端が出会うまでにという意味で、ゆっくりとは落ちてました。これは初期張力が計算違いで大きすぎたせいで、初期張力を直したところ先の「それらしい」結果が得られました。数式で解こうとすると自然長ゼロでバネ的な反発力がないところが難しいですね。
積分定数 @sekibunnteisuu
xの1階時間微分=Ax だとどうなるか? n=1なら指数関数。それに準ずる結果になるだろう。 で、e^s=1+s+s^2/2!+・・・ で、1に単位行列E sに正方行列Sを代入したものをe^Sと定義すると、 x=e^At*a aは任意のn次ベクトル となる。
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu 計算では自然長がゼロ以下にならないように工夫しています。
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu すみません、「数値計算ではバネの伸びがゼロにならないように工夫しています」と書くつもりでした。
積分定数 @sekibunnteisuu
2階微分で同様のことをやろうとすると、B^2=A となるBが必要となる。
武内 修 @osamu_takeuchi
@sekibunnteisuu あああ、「数値計算ではバネの伸びが負にならないように工夫しています」です・・・何度もすみません。
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コメント

両棲装〇戦闘車太郎 @d2N5Q4GciZtsa2e 2019年5月8日
いっぺんバネの変位系xとバネ重心質点の変位系uで別々に立式してから座標変換することも考えたけど、どうか? あと、t<0において線密度ρがxないしその点での張力F(x)による関数になること、バネひずみε(x)を使ってF(x)=-kε(x)=-∫ρdxを初期条件に追加して、t>0でε(x)とその従属変数が時間変動する感じだべか
優魚 @e_kuma3 2019年5月10日
実は下端を糸で吊ってましたってネタばらし早よ
エセ同和を許さないぞ私は正義の味方!滅べエセ同和め! @sujinikusityuu 2019年5月15日
個人的な予想ですが、この現象は、熱力学などに見られるエネルギー等分配の法則の、質点・弾性体の力学への拡張になっていると思います。 落下によってポテンシャルエネルギーが運動エネルギーに変化する際に、バネの重心の位置エネルギーのポテンシャルと、バネの張力による弾性エネルギーのポテンシャルとが、等分配的に、運動エネルギーへと転化していってるのだと思います。
積分定数 @sekibunnteisuu 2019年5月28日
まとめを更新しました。
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