『チャート式シリーズ 大学教養 微分積分』『数研講座シリーズ 大学教養 微分積分』勉強会

加藤文元(@FumiharuKato)先生の監修書および著書の勉強ログです。
8
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

理学書の棚にたむろしていた学生さんを掻き分けて、加藤文元先生の3冊を迷わず引っつかんでレジに直行する

2019-11-30 19:11:38
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

CHART自体には期待しないほうが良さそう。 pic.twitter.com/rjA1wybZnJ

2019-11-30 20:29:30
拡大
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

「不等式p○x□qなら」というのは日本語になってないが、短く言うための方便だろう。Rの部分集合に対し、これに属すための条件が不等式p○x□qで書かれるなら、とでも補えばよい。要するに区間(p,q),(p,q],[p,q),[p,q]の話をしており、いずれに対しても「p以下なら下界、q以上なら上界」ということ。

2019-12-01 16:41:54
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

CHART自体は「逆」に言及しておらず、「p以下でない下界」や「q以上でない上界」があり得るのかどうか不明だが、下の解答にあるとおり、そういうものは存在しなくて、実際は「p以下(q以上)であること」⇔「下界(上界)であること」という同値関係が成り立つ。

2019-12-01 16:41:55
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

この例題の時点では、ひとつひとつ定義に照らし合わせて下界(上界)かどうかを吟味しなくとも、区間に対して「この範囲が下界(上界)の集合」と直感的に分かればよいのかもしれない。それはそれで、とても大切なことだと思う。

2019-12-01 16:41:55
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

しかし、その直感をきちんと裏付ける論証を、これっぽっちの下界・上界の議論でもきちんと(定義に基づいて)できるようになる必要がある。例えば、任意のx∈(2,3]に対して-2.1(<2)<xが成り立つから、-2.1は(2,3]の下界である(下界であるためには「≦」でよいが、より強いので問題ない)。

2019-12-01 16:41:55
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

また2.9が(2,3]の上界でない理由は、例えば3という(2,3]の要素が存在して、3≦2.9が成り立たないから。いまは3という反例を挙げたが、(2.9,3]に属す実数ならどれでも反例になるから、2.9000001でもなんでも、とにかくひとつ挙げればよい。

2019-12-01 16:41:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

これを一般化すれば、前述の「p以下(q以上)であること」⇔「下界(上界)であること」の証明も可能となる。とはいえ、→は容易だろうが←は論証に慣れていないと難しい。このCHARTに書かれた事実そのものが、証明の手頃な(そして初心者にとっては決して易しくはない)練習題材なのだ。

2019-12-01 16:41:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

覚えておくと便利な結果として掲げることまで否定はしないが、それを使った解答だけを提示したうえに「この事実は証明を要する」という注意喚起すらない、というのはちょっと不満を感じる。

2019-12-01 16:41:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

訂正:(2,3]と書いていたところは(-2,3]の誤りでした。

2019-12-01 16:46:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

いま気づいたが、チャート式は加藤先生の著書ではなくて「監修」なんだな。p10基本例題008「指針」;「なお、有理数とは有限小数のことである」という信じがたい誤りがある。

2019-12-01 16:52:59
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

だんだんと事情が呑み込めてきたが、『チャート』は『大学教養 微分積分』の演習書+α、という位置づけなのだな。チャートの1章1節のタイトルは「実数の連続性」なのに、そのステートメントが一切登場せず、上限・下限も「存在するならば」という文言を省いて定義されている。

2019-12-02 10:25:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

はっきり言ってチャートを読むだけでは「実数の連続性」とは何であるのか、全く学べない。しかしそういったことはすべて『大学教養』のほうに解説されている。チャートの節タイトルは、『大学教養』の対応ページを知るためのものと考えたほうが良い。

2019-12-02 10:25:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

『大学教養 微分積分』p18例5「実数の部分集合S={x|x^2<2,x∈R}は有界で、その上限は√2、下限は-√2である。」、p19「有理数の全体Qの中ではSの上限も下限も存在しないが、実数全体Rの中では存在する。」

2019-12-02 13:35:58
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

台集合を変えて比較するなら、Sはどちらの領域に対しても部分集合になっていないと意味不明になってしまう気がする。そのためにはSの要素を有理数に限った{x|x^2<2,x∈Q}の、Qにおける・Rにおける上下限の有無を比較するのが通例ではないだろうか。

2019-12-02 13:35:58
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

m/n(m,nは整数、nは正)で表せるので、n進数で書くわけですね。それは思いました(^^; twitter.com/toyo9/status/1…

2019-12-02 23:41:44
toyo @toyo9

「有理数は、n進表記で有限小数で表せるようなn∈ℕが存在する。」と考えれば、悪くないかも? twitter.com/y_bonten/statu…

2019-12-02 23:18:58
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

チャート式p6基本例題002A「{2n|n∈Z}は、偶数全体を表す。よって、有界でない。」;ここに言葉を補うとすれば、どう言えばよいだろう。上に有界でない理由は、「全偶数のどれを下回ることもないような実数をひとつ持ってこい」と言われても不可能だから。

2019-12-03 11:56:51
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

あるいは同じことだが、どんな実数をとっても、*そのつど*さらに大きい偶数がとれてしまうから。じゃあそれはなぜなのか、という話になってしまうが、それは自然数のアルキメデス性などに帰着されていくのだろう。どこまで証明を書くか、というのも程度問題ですね。

2019-12-03 11:56:52
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

B,Cの解答の、「よって有界」と言ってから「上界(下界)のひとつは」と答えるのは、問われた順番に従ってはいるが、論理としては「例えばこういう上界(下界)があるから、上に(下に)有界である」というのが筋だと思う。

2019-12-03 11:56:52
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

例題003、上界全体の集合をU(S)としたときに「Sは上に有界である⇔U(S)≠∅」を証明せよ。解答では上界の定義に切り込んで証明しているが、上界の定義が何であれ(ブラックボックスであっても)「上に有界」の定義が「上界が存在する」である以上、この同値性は明らかだ。

2019-12-03 12:03:11
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

なんでこれが演習になっているのか正直よく分からないが、もちろん解答のように証明しても全く誤りではない。しかしこの証明にこれだけ字数を割くなら、さっきの「p以下である⇔(p,q)の下界である」とかの証明をきちんと扱ってほしいものだ。

2019-12-03 12:03:11
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

例題004、ここで注目すべきはBで、区間(-∞,√2)を有理数に限った(-∞,√2)∩Qについても、やはり「√2以上である」⇔「上界である」という同値性が成り立つ。ここでも例題001で「←」の証明をすっ飛ばした禍根が尾を引いている。「基本例題001,002と同じように考える」という指針も悲しい。

2019-12-03 12:24:31
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

「∩Q」の有無に関わらず「←」が成り立つのは、(Rにおける)RおよびQの稠密性に拠っているのだから、稠密性を学んでから扱っても遅くない。次の例題005も、この事実は証明済みとして上限・下限という語を導入しているから、読者はどこかで立ち止まって、自分で証明を書いておかないといけない。

2019-12-03 12:24:31
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

例題006、a<bで(a,b)⊆[c,d]ならば「c≦aかつb≦d」を示せ。上下界・上下限の勉強中なのだから、これらの概念を使えばよいのだが、そういう高校までのノリはいったん置いて、素朴に考えるとどうなるだろうか。

2019-12-03 13:53:35
1 ・・ 8 次へ