東大入試・数学【体積を求める問題】過去問コレクション！ 東大以外も良問を収録。「回転体の体積」「領域の重なり合い」が毎年のように出題されてます。数Ⅲを得点源にしよう！

東大レベルの受験勉強たん(東レベたん) @大学受験生・高校生・中学生・浪人生向け学術たん @Todai_Exam_Tan

＜ #東大数学の過去問 ＞ 座標空間で xy平面上の原点を中心とする半径1の円 C。 円 C を底面とし 点 ( 0, 0, 2 ) を頂点とする 円錐(内部を含む)を S とおく。 点A ( 1, 0, 2 ) 点Pが S を動くとき， 線分APが通過する部分の体積は? (2020年 東京大学・入試問題 理系) pic.twitter.com/VUwGbzV4uK

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 座標平面上で x(t)＝(1＋t)√(1＋t) y(t)＝3(1＋t)√(1－t) P( x(t), y(t) ) tが－1≦t≦1を動くときのPの軌跡をCとし Cとx軸で囲まれた領域をDとする。 原点を中心として Dを時計回りに90°回転させるとき Dが通過する領域の面積は? (2020年 東京大学・理系 入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 点 O を原点とする座標空間内で 一辺の長さが 1 の正三角形 OPQ を動かす。 点 Q が平面 x＝0 上を動くとき 辺 OP が通過しうる範囲を K とする。 K の体積を求めよ。 (2017年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 長さ2の線分ABが 次の2条件を同時に満たしながら 座標空間内を動く。 (a) 点Aは平面z＝0上にある (b) 点C(0,0,1)が線分AB上にある この時，線分ABが通過できる範囲をKとする。 Kと不等式 z ≧ 1 の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。 (2016年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ a＞0 pは正の有理数 C_1 y＝a x^p (x＞0) C_2 y＝log x (x＞0) 2曲線の共有点は1点のみとし その共有点をQとする。 2曲線とx軸で囲まれる図形を x軸のまわりに1回転してできる立体の体積は？ ※lim{x→∞} x^p / log x＝∞ を用いてよい。 (2015年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 正方形Sの4つの頂点： A( -1, 1, 0 ) B( 1, 1, 0 ) C( 1, -1, 0 ) D( -1, -1, 0 ) 正方形Sを直線BDを軸として回転させてできる立体をV1 正方形Sを直線ACを軸として回転させてできる立体をV2 とする。 V1とV2の共通部分の体積を求めよ。 (2013年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 平面上で下記の2つの式で定まる領域をSとする。 y ≧ (1/2) x^2 x^2 / 4 ＋ 4 y^2 ≦ 1/8 Sを x軸の周りに回転してできる立体の体積をV1 y軸の周りに回転してできる立体の体積をV2とする。 V1とV2の値を求め V2/V1 と1の大小を判定せよ。 (2012年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ a＞0 円盤D1： z＝a，x^2＋y^2≦1 円盤D2： z＝-a，x^2＋y^2≦1 D1をy軸の周りに180°回転してD2に重ねる。 この回転はz軸の正の部分をx軸正方向に傾ける向きとし 回転の間にD1が通る部分の体積をV(a)とおく。 lim{a→∞} V(a) を求めよ。 (2009年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 正八面体の 互いに平行な2つの面について それぞれの重心を G1，G2 とする。 G1，G2 を通る直線を軸として この八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。 なお八面体は内部も含むものとし，各辺の長さは1とする。 (2008年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ a＞0 0≦ θ ≦π/2 点P( a, 0, 0 ) 点Q( a＋cosθ, 0, sinθ ) 線分PQをx軸の周りに1回転させてできる曲面をS Sをy軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV とする。 (1) V を a と θ で表せ。 (2) a＝4 の時，V(θ) の最大値を求めよ。 (2006年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ r ＞0 について x^2 ＋ y^2 ≦ r^2 y^2 ＋ z^2 ≧ r^2 z^2 ＋ x^2 ≦ r^2 を満たす領域の体積を求めよ。 (2005年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ r ＞0 について 点O( 0, 0, 0 ) を中心とする半径1の球をA 点P( r, 0, 0 ) を中心とする半径1の球をB 球Aと球Bの和集合の体積をVとする。 (1) Vを r で表し，グラフをかけ。 (2) V＝8 の時，r の値を四捨五入して小数第1位まで求めよ。 （2004年・東京大学入試問題）

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 円錐A: 平面z＝0上の原点を中心とする半径2の円を底面とし 点(0,0,1)が頂点 H: 平面z＝0上の点(1,0,0)を中心とする半径1の円 K: 平面z＝1上の点(1,0,1)を中心とする半径1の円 円柱B: HとKが2つの底面 円錐Aと円柱Bの共通部分Cの体積は？ (2003年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 中心O(0,0,0)でA(0,0,-1)を通る球面S。 Sの外側の点P。 OPを直径とする球面とSとの交わりとして得られる円を含む平面をL。 点Pと点Aから平面Lへ下した垂線の足を各々Q,R。 PQ≦AR である点Pの動く範囲Vを求め Vの体積が10より小さい事を示せ (2002年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 実数全体で定義された関数 f(x)＝x e^(－x^3) を考える。 (1) f(x)の増減・凹凸を調べ f(x)のグラフの概形を図示せよ。 (2)以降では，回転体の体積を求める。 続きは下図参照。 (2002年 東京大学・入試問題 後期) pic.twitter.com/rLWdKCCeCr

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 四角錘 PABCD がある。 P ( 0, 0, 3 ) A ( 1, 1, 0 ) B ( -1, 1, 0 ) C ( -1, -1, 0 ) D ( 1, -1, 0 ) xyz 空間中で，四角錘 PABCD のうち x^2 ＋ y^2 ≧ 1 を満たす部分の体積を求めよ。 (1998年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ x^2＋y^2＝R^2(R＞0)を側面とする容器の z≦0に水が入っており水面z＝0 連続関数r(z): r(0)＝0 0≦r(z)＜R 不等式 0≦x≦r(z) z≧0 の領域をz軸周りに1回転した立体を毎秒1の速さで沈めるとt(＞0)秒後の水面はz(t)＝e^t－t－1 r(z)を求めよ (1996年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ x^2＋y^2 ≦ z^2 z^2 ≦ x 0≦ z ≦1 を満たす点 P(x,y,z) の全体からなる立体を考える。 この立体の体積をVとし 0≦k≦1に対し， z軸と直交する平面z＝kによる切り口の面積をS(k)とする。 (1) k＝cosθとおきS(k)をθで表せ。 (2) Vの値は？ (1994年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ f( x )＝( π x^2 ) sin( π x^2 ) とする。 y＝f( x ) のグラフの 0≦ x ≦1 の部分と x 軸で囲まれた図形を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積 V は V＝2π ∫ {0→1} x f( x ) dx で与えられることを示し，この値を求めよ。 (1989年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ xz平面上の0≦z≦2－x^2で表される図形を z軸のまわりに回転して得られる不透明な立体＝V Vの表面上に1つの点光源Pがあり z座標は1 xy平面上の原点を中心とする円Cの Pから光が当たっている部分の長さが2πである時 Cのかげの部分の長さは？ (1988年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ xyz空間において 点 A ( 0, 0, 0 ) 点 B ( 8, 0, 0 ) 点 C ( 6, 2√3, 0 ) 点Pが⊿ABC の辺上を一周するとき， Pを中心とし半径1の球が 通過する点全体のつくる立体をKとする。 (1) Kを平面z＝0で切った切り口の面積は？ (2) Kの体積は？ (1985年・東京大学入試問題)

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＜ #東大数学の過去問 ＞ 半径1の円板Cは，領域 {(x,y,z)|0≦y,0≦z}に含まれ， 原点Oにおいてx軸に接し xy平面と45°の傾きをなす。 座標(0,0,2√2)の位置にある点光源Pにより xy平面上に投ぜられた円板Cの影をSとする。 CとSに挟まれ，光の届かない部分の体積は？ (1984年・東京大学入試問題)