#超算数 かけ算順序論争 2020/9/2-9/9

とりあえず論点が分からなくなってきたので一先ずまとめました。
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kistenkasten723 @flute23432

@skboyj2 中学・高校の数学では、もう被乗数/乗数の区別はありません。かけ算は〈因数×因数〉で考えられています。ここでも、乗法の交換法則ab=baを習います。ab=baなのだから、aが2だった場合は、2b=b2となるはずです。

2020-09-02 17:23:30
kistenkasten723 @flute23432

@LimgTW @apeanuts @atsuohys @nige_karashi @knrsgm このab=baを7(a+b)に適用すれば、(a+b)7です。でも、実際には、デカルトが確立したルールに従い、7(a+b)の順が標準です。中1ではこの表記ルールを学ぶので、定期試験ではこれができているかどうかが問われ、(a+b)7だと、減点やバツです。 pic.twitter.com/eCmqxUy8b2

2020-09-02 17:43:50
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kistenkasten723 @flute23432

@LimgTW @apeanuts @atsuohys @nige_karashi @knrsgm 私の考えは、意味のあるなしの違いはあれ、〈被乗数×乗数〉の固定も、係数・文字の固定も、表記上・書式上のもので、かけ算の可換性のような原理的なものに抵触しない、というものてず。

2020-09-02 17:44:06
kistenkasten723 @flute23432

@LimgTW @apeanuts @atsuohys @nige_karashi @knrsgm その場合の交換法則の意味は、①乗号の前後の数を交換しても計算結果(積)には影響しない、ということです。しかし、ここから、普通は、②いつでも自由に交換できる・順序はどうでもよい、という意味が派生します。

2020-09-02 17:44:13
kistenkasten723 @flute23432

@LimgTW @apeanuts @atsuohys @nige_karashi @knrsgm 表現上・書式上の順序固定は、②の派生的な意味を制限するかも知れませんが、交換法則の核となる意味である①を侵害することは、まったくありません。

2020-09-02 17:44:50
skboyj @skboyj2

@flute23432 「なぜ小学校で固定してはいけないのか」自体ヘの反論にはなりませんが、「なぜ、ひとつ分×いくつのように固定してはいけないのか」の反論にはなり得ると思いますが

2020-09-02 19:11:07
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath 「いくつぶんを倍にすり替えるんですよね。」 教科書では、倍といくつ分についての関係について、はっきりとは何も語られていません。

2020-09-02 21:10:45
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath しかし、戦後の教科書を見る限りでは、倍で教えられていた1960~70年代、倍はいくつ分から説明され、いくつ分で定義されるようになった1980年代には、いくつ分は倍で言い換えられています。

2020-09-02 21:10:55
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath いくつ分と倍は意味が重なり合いながら、倍のほうが量と量との関係を扱える限りで抽象的である、という違いがあります。いくつ分は倍によって敷衍される、倍へと発展するのです。

2020-09-02 21:11:11
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath 「すり替える」というためには、1)両者の境界がはっきりしていないといけませんし、2)いくつ分と言っていたところを、読者にはわからない仕方で、いつのまにか、倍に言い換える必要があります。

2020-09-02 21:11:46
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath しかし、現行のいくつ分の教科書では、2の8つ分を、2の8倍とも言います、とちゃんと書かれていいます。

2020-09-02 21:12:05
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath 「累加的に計算する」 ぷろとんさんは、あくまでかけ算を同数累加で定義して、それを一貫させる、つまり、それを維持したまま中学年・高学年で学ぶかけ算を説明しよう、とされているように見えます。

2020-09-02 21:12:41
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath まだよく理解していませんが、私が問題だと思うのは、計算の手続きばかりに注目して、かけ算の概念を軽視しているのではないかということです。

2020-09-02 21:12:53
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath もう一つは、「累加的に計算する」とありますが、かけ算の筆算という計算の過程で、児童はいちいち、累加していない、ということです。実際には、九九を用いています。そして、九九は累加で求められているとは限りません。

2020-09-02 21:13:59
kistenkasten723 @flute23432

@TKT_Yamamoto 交換法則は、算数では、繰り返し教えられています。「順序派」や〈かけ算の順序〉の「順序」は、交換法則の否定のような印象を与えていますが、実際には、順序派の教師も交換法則は否定しません。 flute23432 「交換法則の学習」(2019/03/18) flute23432.blogspot.com/2019/03/blog-p…

2020-09-02 21:39:29
山本拓人@数学研究/予備校講師 @TKT_Yamamoto

@flute23432 資料をありがとうございます!教科書に載っているのですね! この問題を彼らはどのように指導しているのでしょうかね? もしこの問題でも、積の順番を一意に決めて指導するのだとしたら、なかなか手強いように思います

2020-09-02 21:39:44
山本拓人@数学研究/予備校講師 @TKT_Yamamoto

@flute23432 先ほど別の方にも指摘を頂いてハッと気付いて訂正したのですが、私も「彼らは交換法則を認めていない」とは思ってはいません 「立式時の積の順序の交換を認めない」の意味の「交換」のつもりでしたが、これを勇み足で「交換法則」と書いてしまったのです ご指摘をありがとうございます twitter.com/tkt_yamamoto/s…

2020-09-02 21:44:05
kistenkasten723 @flute23432

@beatboard1 かけ算を、昔日本でやっていたように、同数累加で定義するということですね。5×9は5を9回足したものですので、足し算で言い換えると、次のようになります。 5×9 =5+5+5+5+5+5+5+5+5 =45

2020-09-02 22:07:07
kistenkasten723 @flute23432

@beatboard1 このとき、繰り返される5は被乗数(掛けられる数)、繰り返しの回数は乗数(かける数)と言います。被乗数・乗数、1つ分・いくつ分などの概念そのものを否定する自由派もいますが、あなたは、被乗数・乗数は使うが、順序は決めない、という立場なのでしょうか。

2020-09-02 22:07:17
ぷろとん@ど文系勉強垢 @protonmath

@flute23432 訂正:{小2では、いくつ分は整数で6cmの2つ分を6の2倍という。shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sans… その後、小数倍を習うときに、~つ分とは言わず、~倍という。} では、6×3.2 の計算アルゴリズムとその計算が正しいことはどのようにして示していますか? 結局、0.1がいくつあるか数えているでしょう。

2020-09-02 22:15:19
ぷろとん@ど文系勉強垢 @protonmath

@flute23432 掛け算の概念を軽視といいますが、掛け算の概念を累加からはじめて拡張すべきといっているので重視しています。 もちろん計算が概念のとおりに正しく行われていることを保証する必要があります。 むしろ、ひとつ分×幾分の概念を理解されてますか? 単位の変換ですよ?

2020-09-02 22:18:56
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath 「0.1がいくつあるか」 これはまさに、〈1つ分×いくつ分〉を使っているということでは? 大きな数を習うときも、小学生は、153708は、万が15個、千が3個、百が7個、一が8個とやっていますよ。

2020-09-02 22:21:06
kistenkasten723 @flute23432

@protonmath 計算でも、累加は使っていないのでは?

2020-09-02 22:23:02
ぷろとん@ど文系勉強垢 @protonmath

@flute23432 同数累加ではありませんが、 加法の積み重ねによって乗算の計算結果を保証する仕組みになってますよね。 で、除算は意味の拡張をしているわけですから、同様に乗算でも累加から、小数倍への意味の拡張をしてもよい。 むしろ累減と合わせてよりわかりやすいものから始められるという主張です。

2020-09-02 22:28:26
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コメント

笹かま @voyageur105 2020年9月9日
647!! こんなに続くのか!
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シャトー・ユースケ @ChateauxUSK 2020年9月9日
長いので読んでないけど、掛け算に順序なんてない。(4+7)aと書いてもa(4+7)と書いてもどちらも等値だ。
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☆ありゅ☆ @Fo_Tr0 2020年9月9日
掛け算に順序はない.ローカルルールに反して1~2問正解しただけで,理解しているかどうかの判断は難しいが,判断ができないからと不正解とはするべきではない.これは順序が合ってる場合でもそうで,ローカルルールを守って正解しているからといって理解しているとは言い難い.理解しているかどうかなんて何問か試して判断していくしかない. / 単位を重視すると言うなら[個]×[人] = [個]のような杜撰な単位の扱い方はやめようね.
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三塚ハル @mtkharu3 2020年9月9日
私が思いつく掛算の順序を擁護する唯一の理由だと思うのは「大多数の小学校2年生児童は、九九の表を見ても答えが線対称に並んでいることに気づかないくらい愚鈍である」というものですね。これを認めるなら小学校の算数で掛算の順序指導をしてもいいと思いますよ。(だから エビデンス 出せ!
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ゴルゴ・サーディーン @golgo_sardine 2020年9月9日
きょうの時点ではまとめ主の意見は『立式ができない生徒に対して例のマイルールをとりあえず教えよう』という事なのだそうです。 だが、それならどうして「単価×数量 でも 数量×単価 でもいいじゃん」という子を認めないのか。#掛算
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