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竜 РЮ Афанасий 🇺🇦
@yappata2
そういえば今日、微積分の1/2+1/4+1/8+1/16+…、は1か1以下かを答えよ、という問題に代数経由で1と見做すと答えるのは不正解、と戯曲に書いた部分は正しいのか、という命題が全員の納得がないまま終了したんですが数学に詳しい方、平易に教えて下さい。
2020-09-20 18:46:34
Inagaki Katsuhiko
@tas3cdw
@yappata2 この計算は図形的に解釈することができて、１辺が１の正方形を半分に切って、残りをまた半分に切って、という操作をいくら繰り返しても、まだ半分が残り続けると言いなおせます。なので、残っている面積が０にならないのです。
2020-09-21 18:14:20
Inagaki Katsuhiko
@tas3cdw
@yappata2 これを同一視して良いかどうかは、確かに数学の文脈によって変わってきます。ただ、それが微積分と代数かと言われたら自信がありませんね。極限のところに値が存在しなくともよいという考え方は確かにあります。
2020-09-21 18:19:11
Inagaki Katsuhiko
@tas3cdw
@yappata2 私が思いつく例は、sin(x)/xという関数です。これはx→0で1に近づくのですが、もちろん0が分母に来てはいけません。なので、x=0では1をとることにした関数を定義して使うんです。sinc関数と言います。
2020-09-21 18:23:18
竜 РЮ Афанасий 🇺🇦
@yappata2
@tas3cdw それは2種類の学派のようなものがあるということなのか、場合によって使い分ける感じになっているのか、という点はどうでしょうか(しつこくて済みません
2020-09-21 18:24:46
Inagaki Katsuhiko
@tas3cdw
@yappata2 学派というわけではなく、数学ってとても厳密なのに柔軟なんですよ。極限値は、そこに値が存在しなくてもかまわないというルールで数学をすることもあるし、値が存在しないと困るというルールを使うこともあります。なので、大学数学で一番最初に習うのは、どんな関数が微分できるかからなんです。
2020-09-21 18:28:08
Inagaki Katsuhiko
@tas3cdw
@yappata2 この計算自体は高校範囲ですが、数学を考える上で、とても良い例です。最後の隙間を無視してもいい場合とだめな場合。つまり、１以下と１未満を区別するかどうかなんですね。
2020-09-21 18:39:20
竜 РЮ Афанасий 🇺🇦
@yappata2
@tas3cdw そうですそうです、まさに劇中でも高校生がふたつに分かれて論争するシーンなのです。良かった…。
2020-09-21 18:45:38
竜 РЮ Афанасий 🇺🇦
@yappata2
@tas3cdw n(1/2+1/4+1/8+1/16+…)=1/(n-1) な時、 0.9999… =9(1/10+1/100+1/1000…) =9(1/(10-1)) =9(1/9) =9/9 =1 という例題でした。子ども向けの微分の教本に載っていました。
2020-09-21 18:56:38
Inagaki Katsuhiko
@tas3cdw
@yappata2 「無限回足すことができる＝隙間を０にできる」ではないのが重要な点です。「隙間を０にいくらでも近づけることができる」が正しい表現で、それを便宜的に＝とおくだけですね。循環小数も基本的には同じ考え方です。
2020-09-21 19:04:39
竜 РЮ Афанасий 🇺🇦
@yappata2
@tas3cdw なるほど。∞と0を同時に扱うので特殊な解が必要になってくる、と理解しました(素人考えですが
2020-09-21 19:15:17