「√2 を2乗しても1.999...で、2にならないのでは?√2は存在するのか?」生徒の質問に答えようとする数学関係者一同の議論

面白かったのでまとめました
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みゆき @miyuki_MathT

今日の生徒の発言 「ふと思ったんですけど、二乗して2になる数なんて本当に存在するんですか?√2=1.41421356…って二乗しても1.99…で結局2じゃないじゃないですか。本当にそこ(数直線の1点)にいるんですか?」 本当にビックリした。 それをふと思えるとか何者だw

2020-03-27 21:49:58
みゆき @miyuki_MathT

予備校講師(数学)。勉強、ラグビー、アメフト、筋トレが好き。教育について思うことなど呟きます。間違いを指摘されると喜ぶので叩いて育ててください。超算数を憎んでいます。

みゆき @miyuki_MathT

訂正 数直線の→数直線上の

2020-03-27 21:56:58
みゆき @miyuki_MathT

大体こんな感じで教えました(一部、何て言ったか覚えていない) その子は「二乗しても届かないのに数直線上にいるのか?」を聞きたかったのだと思い、このようにしました。 その子の宿題に循環小数を整数/整数に表す問題があり、解説あとに√2やπはどうなるのかという話からこうなりました pic.twitter.com/Y53ZrvCijg

2020-03-28 21:42:43
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kzau @kzaukzau

@miyuki_MathT @ani_king_math 面白いなー 数学的には「コーシー列の収束」から存在を主張したいし、 数学の哲学的には「数学の奇跡的実用性」から数学を擁護したくなるな。 教育的、本人の利益、本人の感情面での納得 など、さまざまな議論ができそう。 √2が定める、連分数展開、n倍のmod1の一様分布性も面白い

2020-03-27 22:43:49
みゆき @miyuki_MathT

@kzaukzau 学年的にどこまで説明すべきか迷いました… 噛み砕きはしましたが、簡単に2つのことを話しました 「実数の連続性を認めよう」 「1.41421…<√2<1.41422…と、両側から誤差を減らしていくと…?」 こういう視点を持てる高校生、たまりませんね☺️

2020-03-27 22:54:53
エコ鉄 @eco_tetsu

@miyuki_MathT 数をどの様にとらえるか。 少数で表記だけに限定するか? その数値を表す記号(例えば「√」)を考えていいのじゃないかと思う。 √2 は実在する。 pic.twitter.com/5hXXeD4koa

2020-03-28 03:15:35
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みゆき @miyuki_MathT

@63academic 結局のところ、円に近付くだけで辿り着かないとも見れますね🤔 無限を認め、円とみなすと見れるかどうか。 同じかどうかは… 円自体は存在しますので、半径1の円の半円弧の長さがどうなるか(=π)、πは数直線上にいるか(いないと困る)… 考え始めたらキリがありません💦

2020-03-29 18:25:25
へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 無限小数はそれ自体がコーシー列を表してるんじゃないですかね 整数部をz、小数点以下n桁目をf_nである無限小数が与えられたとき、a_n=z+Σ[k=0,n]f_n/10^nというコーシー列が考えられて、この収束先が無限小数によって表される実数

2020-03-30 09:24:11
へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 周期1の循環小数を0.111…の整数倍と考えるのは、定義というより無限小数の特殊な場合と考えて良さそう

2020-03-30 09:26:01
Kozo Kamada @geo80k

@miyuki_MathT 高校では、連続の正確な定義は教えないけど、アプリオリに分かったつもりになっているとして、正方形の1辺のサイズを1から2まで連続に大きくしていくと、どこかで面積が2を超える。だから、面積が2になった瞬間の1辺の長さをルート2と呼ぶ。と言えば。

2020-03-28 14:51:19
みゆき @miyuki_MathT

@geo80k 連続的に大きくしていくというのは失念しておりました…ありがとうございます! 今回は、よくある1辺1の正方形のタイルの斜辺で作る正方形をとり、面積が2になるための一辺の長さの話をして、「"何か"がいるよね」という話から、放物線で説明しました

2020-03-28 19:53:29
Kozo Kamada @geo80k

@miyuki_MathT あ、たまたま私が説明できる案件だっただけで、そんなに丁寧なご挨拶を頂くと恐縮です。 生徒さんが腹の底から納得してくれることを祈ります。 自分は若いときに、「後から考えると悩まずに通り過ぎた方が幸せだったのに」的な場所で引っかかったりしたので、生徒さんはうまく通過できると良いですね。

2020-03-28 21:04:42
みゆき @miyuki_MathT

@geo80k いえいえ、助かりました😊 その子の言葉ですが、計算で見えない数なのに図だと見えるなんて不思議ですね!と言ってました😂 優秀な理系の人に成長してくれると信じてます😌

2020-03-28 22:35:56
こうくん @koukun531

@miyuki_MathT たとえば厳密な3等分は可能なのかとか、直径10センチの真円の円周は何センチなのかとか、今でも疑問は尽きません。

2020-03-28 14:53:11
ぬまち @numachi11111

@miyuki_MathT @63academic 0.99999…=1 も同様ですね。突き詰めると、デデキンドの切断に行くんですかね?(このあたりはよく分かってない)

2020-03-29 18:44:23
Limg @LimgTW

@numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 0.99999…=1 は 0.111111…=1/9 という循環小数の定義で決まるかと。 つまり、0.99999…=0.111111…×9=1/9×9=9/9=1 循環小数自体が無限桁込みで定義されてますので、穿った言い方すれば単純に表記の問題であり、無限桁を考えずにも単純に有限桁と「…」という末端記号を考えても通ったりします。

2020-03-30 07:43:52
Limg @LimgTW

@hedalu244 @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic ①循環小数の場合は有理数を表し、非循環小数とは別にもっと簡単な定義が存在するのが一つ。また、②規則的なためにコージー列の値が規則的に決まり、つまり、分かり易い切開ができる、かつ、それは①の定義に一致する。ってところかな。

2020-03-31 08:54:32
へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 循環小数は(その表記からも自明に)無限小数の特殊な場合なので、より一般的な無限小数と実数の対応のみを定義にしたいですね そうすれば、循環小数が有理数であることも、その値が〜〜〜/999...になることも、無限小数の定義から証明できる定理になるので

2020-03-31 09:03:56
へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 逆に、0.111…×9=0.999…などを証明するのは有限小数の筆算(桁ごとの四則演算)が無限桁でも成り立つことを利用しているので、結局無限小数の定義が必要です 循環小数の四則演算を公理として導入すれば回避できますが、そこまでして一般の無限小数を避けるモチベーションがありません

2020-03-31 09:20:35
Limg @LimgTW

@hedalu244 @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 話の流れはこれ。 twitter.com/miyuki_matht/s… 恐らく結論は両方の定義を使うことになるかも。まず極限を認めてないので、②の定義は理解されない。円などと異なるのは、循環小数は①による別定義が存在し、充分厳密に1=0.99…を証明できる。そこで②の定義が有理数に関して①の定義に一致することを twitter.com/miyuki_MathT/s…

2020-03-31 09:31:45
Limg @LimgTW

@hedalu244 @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 確認することで、②の有効性(有効であるために当然満たすべき条件)が確認できる。コージー列の発想ではlim(1-0.99…9) →0 ⇒ 1=0.99… を認めざるを得ない。

2020-03-31 09:34:41
へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic ふむ… √2やπまで考えたいなら尚のこと、極限を導入したほうが早い気がしますね 近づくのみで一致しないというのは正しいが、数列にどこまでも近づく行き先があったとき、その行き先を同じくする数列と同一視するのが実数(これを無限の導入と読んでもいいけど、イメージされてるような曖昧さはない)

2020-03-31 09:41:39
へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 有理数に極限を導入したものが実数なので、極限なしで厳密に扱うのはほぼほぼ不可能で、結果的に有理数になってくれる循環小数は例外的(この例外性を喜ぶか否かが私とLimgさんの争点?)

2020-03-31 09:44:10
残りを読む(21)

コメント

パンダは肉食獣 @j_inbar 2020年11月24日
数学全般だけど、「定義による」。コーシー列で話すなら、ちゃんと順序体から始めてアルキメデス性まで答えないと、元の疑問には答えられてないと思うし.....めっちゃモニョるな。
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あ~れ~@甲甲甲甲 @31kt_Now 2020年11月24日
√nの2乗はnって定義されてるだろ。1.414...の2乗が電卓等で1.999...になったのなら丸め誤差や有効桁数の関係で入力した数値が厳密なものではない、きちんとした環境を用意したらちゃんと2が出るって教えないと。
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ヒジャチョンダラ @citabow 2020年11月24日
円と同じ面積の正方形を描け(円積問題)に対し、「分かりました、では先ず1平米の円を用意して下さい」と返した一休さんみたいな同級生が居たなあ。
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狂犬ちゃん @MadDogUnlimited 2020年11月24日
有理数の時だけ1の関数を積分してもゼロでしょ?つまりこの世には無理数しかない!(ルベーグ脳)
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ですの @_desuno_ 2020年11月24日
同じパターンで3分の1(0.33333〜)を3倍しても1にならないんじゃ?ってのもあるよね
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ちこたん @chiko_tam 2020年11月24日
要するに数直線をデジタル(離散値)で見てるから、存在を考えてしまうのではないでしょうか?アナログ(連続)で考えれば、問題は無いはずですが。
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BABA Motoharu @calc3 2020年11月24日
もっとシンプルなところで「1/3=0.333...ということは(1/3)x3=0.999...で1にならないんでは」とかもあるけど「それはそういうもんだ」を禁じ手にして説明しようとすると教える方の知識が相当要求されるやつ
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島村鰐 @wani_shima 2020年11月24日
こういうのがあるから数学の話って好き(好きなだけ)
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ティルティンティノントゥン @tiltintninontun 2020年11月24日
ときどき0.9999=1の話題を目にするけど「二乗しても1.99…で結局2じゃないじゃないですか」と形を変えてくるとは思わなかった。
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rise@虚無 @risechess 2020年11月24日
その疑問をきちんと答えてくれる環境にあることがすばらしいですね。定義でこうだからだけで納得してもらうのはちょっと違いますしね。
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佐渡災炎 @sadscient 2020年11月24日
1.9999…は2と同じ数の別表記
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E音 @strains_e 2020年11月24日
自分もこういうの追求するタイプだったけど、虚数で諦めた。
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きんくま @suiminbsk 2020年11月24日
こんな疑問なんて誰でも思うもんだろ 俺は円周率がわかってないのにコンパスで円を描くのはおかしいと数学教師にくって掛かった事がある 数式で完全な円が再現できないものを扱うのは筋が通ってないってね
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ポッカ @pokka80 2020年11月24日
10進数の欠点としておこう
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soso3968 @soso3968 2020年11月24日
なんでこの疑問にそんなびっくりしてるのか意味がよくわからない。ものすごいありふれた当たり前の疑問やろ
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パンダは肉食獣 @j_inbar 2020年11月24日
pokka80 √2は無理数だから、何進法でも存在は定義によって異なる。
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語るおじさん(おじさん) @ojisan_think_so 2020年11月24日
1も2もあるんやから√2も間のどっかしらにあるに決まっとるやないかガッハッハ!(クソ文系)
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フルバ @furubakou1 2020年11月24日
ojisan_think_so 円周率の同定みたいな話やな… (確か3.141以上3.142未満だから3.141までは確定、みたいな算出方法だったはず。はさみうちの定理だっけか。)
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パンダは肉食獣 @j_inbar 2020年11月24日
ojisan_think_so 良い視点だと思ったので、手短に雰囲気だけ。そもそも√2ってのが数として正しく存在するかどうか問題と、√2が1と2の間にありえるのかどうか問題に答えないといけないよね。ってのがある。この辺の特に後者は、虚数2iが3以上でも以下でもない事とかから、そんな自明な話じゃないのは感じ取ってもらえれば。
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デルタ @delta393939 2020年11月24日
こういうのは勉強ばかりしている弊害だと思う。世の中は大体合ってれば正解。物を作れば精度には限度があるしどこかで妥協するしかない。
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Tadashi @tadashifx 2020年11月24日
大昔、ほぼ同じ質問をされた経験があったのでびっくりした。当時の私の雑な回答は… ojisan_think_so の考え方と同じなのだけれど、その時持ってたペンの両端をそれぞれ指1本で下から支え、両端から近づけて重心探して「ここがこのペンの重心なんだよ。両端から近づけていくとここの間に重心があるという間の距離が短くなっていって最後には1点に決まる。でも端からの距離を正確に表すのは難しいよね」という数学あまり関係ない回答だった…(恥
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語るおじさん(おじさん) @ojisan_think_so 2020年11月24日
j_inbar なんというか与太にお付き合い頂き恐縮です 実証?が大事なのは存じております それを求めるのがすげえ苦しくて楽しいんだろうというのもウッスラわかる
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パンダは肉食獣 @j_inbar 2020年11月24日
ツッコミ入れるけど、そもそも精度の問題じゃない。例えばf(x)=1/x は、f(x=0)の時は定義なしが答え。「xを-1からどんどんと0に近づける」のと「+1から0に近づける」のを考えれば全然違う値に向かう。この事からも適当な数式で書けても、それを満たす数が存在するかどうかレベルの話があるのが分かるだろ。そして、それは大体合ってる(と思い込んでいる)限りは、全然とんでもない間違いにしかならない場合も少なくない。
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aitsuki @aitsuki2 2020年11月24日
31kt_Now 電卓とかそれ以前に、1.999…=2やで
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障害者雇用で働くアライさん @hataraku_Arai 2020年11月24日
逆に二乗して2に戻せちゃうんじゃ無理数じゃなかったと言う事になって困ることになるのだ・・・
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しゃけ @shakeflake1223 2020年11月24日
この手の問題って3分の1の概念を教わった時になんとなく理解した覚えがある
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タイラー・ダーテン @NoisyDog11 2020年11月25日
ちょっと受け入れ難い人もいるかもしれないが。数が物理的に存在するものじゃなくて概念だからだ。物質として実在はせず、数えたり計算したりするために定義されたシステムそのものなんだ。だから無理数やマイナス、虚数といった現実に厳格に存在し得ないものも扱うことが出来る。逆に言えば√2だろうがπだろうが概念として成立するなら破綻無く扱えるのが数学の強みだ。
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タイラー・ダーテン @NoisyDog11 2020年11月25日
よって√2は小数点というシステムでは近似的に存在を把握するしか出来ないが、√というシステムとしては1から2までの直線上に確実に概念として存在する、となるわけだ。
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タイラー・ダーテン @NoisyDog11 2020年11月25日
hataraku_Arai 大丈夫。困らないよ。小数で表すのが「無理」なだけで「2乗すると2に戻る」そういう概念だから。
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障害者雇用で働くアライさん @hataraku_Arai 2020年11月25日
NoisyDog11 もちろんそうなのだけど、電卓で表示するのが無理なので近似値にしかならなくて2にもどらないという事を言いたかったのだ
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aki @Yy7_f 2020年11月25日
最後の方のツイート束、中学生くらいかと思ったら、大学院生でびっくり
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トロフィールド @truefeeldoo 2020年11月25日
本筋には関係ないが、数学は立派な文系(形而上学)だと思う。この議論は理系(工学系含んだ形而下学)ではしない。理系でこういうのもなくはないが、物理的現象側を研究する方が理系だろう。もちろんどちらがいいとかではない。両方発達して科学が発展しているのは確かなので。
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RGB000 @19666_61 2020年11月25日
どうして1/3のときにその疑問を解消していなかったんだという気持ちになってしまった
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はちゃけら @Snob731 2020年11月25日
strains_e 「虚数とかンなもんねーよ!」とブチ切れて自転車で校長室突っ込んだ隣のクラスのN君思い出した
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amigojam @amigojam2 2020年11月25日
当たり前とされていることに疑問を抱けるだけで、十分に知的だと思う。
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Naruhito Ootaki @_Nekojarashi_ 2020年11月25日
単純に「無理数が理解できてないだけ」のように見受けられるのだが……
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幕部進一 @MakubeShinichi 2020年11月25日
これ小学生が「1÷3=0.3333...で3を掛けても0.99999...で1に戻らないじゃん」って言ってるのとどう違うのさ
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すらいむ二号 @sraim2 2020年11月25日
1/3は0.33333……だけど、1/3は存在するし、3倍したら1だぞ。 これは数学上のルールだ
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もっこㄘん @Mokko_Chin 2020年11月25日
電磁気学で虚数とか無限に長い導線とか無限に小さい点とか現実世界で証明できないものをあると仮定する事が山ほど出てきて、それが便利かつ実生活に応用できたりするのが数と概念の世界。
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サディア・ラボン(ドラクエ10ではヒエロサロメ) @taddy_frog 2020年11月25日
ぼくの電卓では、1を3で割ったら0.33333333333333・・・・・という答えになって、その答えに3を掛けたら0.9999999999999999999・・・・・・・・・・・・という答えになってたので、小さい電卓だと桁が足りないんだろうと思っていて、     ウィンドウズで十進BASICを知った時は、千桁モードで、必要な時は精密な計算が出来るかと、ワクワクしました。
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nekosencho @Neko_Sencho 2020年11月25日
コメントでもあるように、えんえんと元の数に届かないというと普通の順番で学んでれば√2の二乗よりも先に1/3の三倍に遭遇するだろうから、その子が√2に何を見たのかが気になってしまう。
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kimuraお兄さん@小豆島 @nobuo_kimura 2020年11月25日
( ×H×)y-~~実数の連続体の話は数学科の学生さんでも理解が難しい証明だったらしい。
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gx9900 @GX9900GUMDAMX 2020年11月25日
虚数は存在するのだろうか・・・
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赤べこ @akabeko7654 2020年11月25日
Neko_Sencho たぶん境界線は「感覚的に理解できる/できない」なのかと だからこの先生も「無理数を理解してないね」で終了ではなく解説したのかなと思うんですよね
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ネギ@ホットプレぇわ… @negi__ 2020年11月25日
確かに無理数に出会うまでは数直線を有理数体だと思っていても問題はないわけだから, そこに概念の飛躍を感じたのかなという気がする.
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ざっぷ @zap3 2020年11月25日
電卓で1/3を計算したら0.3333333......が出た、は誤りやで。どっかで途切れる近似値として、桁が区切られてる。だからそれに3を掛けても0.9999999......にはならない。なる可能性があるのは一度の演算で(1/3)×3とかやった時。これも内部演算の近似の仕方次第で変わるな
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ざっぷ @zap3 2020年11月25日
あと数直線に存在するか問題、これはそもそも10進法で算数するから無限小数で表記されるだけで、適当な軸(ものさし)を用意すれば「キリのいいトコ」に1/3だろうが√2だろうが置けるんだけど、、、進法とか習ってない相手だよな…
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Mill=O=Wisp @millowisp 2020年11月25日
「有限小数では表現できない」が「数としては存在する」わけだが、その生徒さんの理解度によってどう説明するかは難しいね
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@D9hV1M7YOI3PZCj 2020年11月25日
無理数ってそういうもんだから無理みたいな解釈してた、あってるかは知らんけど。
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タイラー・ダーテン @NoisyDog11 2020年11月25日
hataraku_Arai おっと。失礼したのだ。アライさんは賢いなぁ。
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タイラー・ダーテン @NoisyDog11 2020年11月25日
そういう意味じゃあ初めて関数電卓触った時はちょっと感動したな。定義そのものがプログラムされてる!ちゃんと概念上の数を扱える!ってなったよ(しみじみ)
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prad_bitt @pradbitt42 2020年11月25日
確かに、半径 1/pi^2 の円と同じ面積の正方形を作図するのは私にもできるな。
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S.O. @so_rei 2020年11月25日
これ、「数学の不思議」で証明するようなものというより、正の値xについて、√xの2乗はxという数学のルールで解決するものでは…?
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koromon @yamadian 2020年11月25日
「小数第n位までの小数のうち、二乗しても2を超えない最大のもの」や「同じく二乗すると2を超える最小のもの」という数列を考えるとこれらがずっと有理数だけど収束先は無理数(√2)という具体例になってちょっとおもしろい。
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共同(笑 まとめる君 @tagwriter2016 2020年11月25日
あの人はケチなので√3といわれましてね、 そのたびにあの人はこう言うんです。 √5と、
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CD @cleardice 2020年11月25日
電卓はあくまで単純計算の補助をしてくれる機械であって数学的な正解を出力してくれるものではないのだ
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寿命 @hisa_ino 2020年11月25日
最初、「有限桁で計算したらそりゃ2にはならんだろ。なんでそんな当たり前のことを疑問に」と思ったのだが、ひょっとすると、「任意の桁数で2にならない」から「無限桁でも2にならない」って思ったのかな。それならまあわからなくもない。
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ゆーき @yuki073 2020年11月25日
1/3は3進数を使えば小数で表現できるから少し違う気がする。
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CAW=ZOO@ふたけ不参加無念 @CAWZOO 2020年11月25日
描けばあるやろ(QED) ただ、俺自身も数字で1や2は表せるのにルートで表せないのは何でや、と思ったけど、その長さはルートで出してるだけで、それがその長さの表記である、と自己暗示解決した。数学やる根性は無いのでw
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ウラリー㌠ @urary777 2020年11月25日
グラフで表したとき、線の太さ分の余地があるじゃろ?(頓智で切り抜けようとするな
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xi @accountLINKonly 2020年11月25日
あーー!!エモい!!エモいってこういうことをいうのね!!はぁーー!!好き!こういうの大好き!!
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語るおじさん(おじさん) @ojisan_think_so 2020年11月25日
Snob731 なんだかよくわかんないけどその子すごく好き
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tibigame @tibigame 2020年11月25日
電卓などの計算機での演算はそれだけで本が書ける。プログラム組むときは規格化されてるけど、整数型にせよ浮動小数型にせよ境界が複雑すぎて誰も理解しようとせずに適当にやってバグが出る箇所でもある。
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いくた♥️なお featuring Tricity155 @ikutana 2020年11月25日
値と表記の区別がついてないんだろうなぁと思う。
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モフモフすぅさん @hito_misiri 2020年11月25日
10進法できっちり説明すると○ぬファッキュ~な定理としか言えない
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蠢犇 @ugmkhsmk 2020年11月25日
感情面に限って言えば数学は自然科学ではなく形式科学だから間違ってるのはこれを誤りだと感じる感情の方。この切り替えは本来中学1年生のときにやっておくべきで、じゃないと数直線とかグラフとか扱えなくなるはずなんだけど
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田中一郎 @eggmanpat 2020年11月25日
「ふと思ったんですけど、二乗して2になる数なんて本当に存在するんですか?」→数学は自然科学じゃないので本当に存在するか否かを議論をする意味はない。存在した方が便利なら存在すると仮定して議論を進めればよい。二乗して-1になる数が存在するか否かも同じことだ。
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Fatalwedge @Fatalwedge 2020年11月25日
フラクタル図形を延々と拡大し続けるアニメGIFでも見てれば悟りが開けるんでは。 「無限の彼方に確かにそれは存在するが、人類はそこにたどり着くことはできない」とか言い出したら勝ち(何
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kartis56 @kartis56 2020年11月25日
ルートだから二乗ですむけど、立方根とかソレ以上だとどうしようもないから数字で考えるのは捨てろ
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つよし(清野剛) @tseino 2020年11月26日
難しい説明しようとしてるけど、あるでしょ。俺らが√以外の表現手段を持ってないだけ
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幻動鬼憑きけもの @Maelzel_opening 2020年11月26日
塾講師わし、そっとバキの例の巻を差し出すファインプレー。
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ゆー @y_raimu0 2020年11月26日
31kt_Now 定義は定義であって実数ではないし、√2は無理数なのだから厳密とか無理だし
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KENNY @chaowatson 2020年11月26日
紙に定規で線を引いて直線って言ってるけど、これだって厳密に言えば線が目で見えてる時点で線に太さがあるってことだから「直線」じゃなくて「長方形」ってことになるしね。 数学は基本的には頭の中で想像する世界。
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KENNY @chaowatson 2020年11月26日
著作権の裁判かなにかで「12月31日24時と1月1日0時は同じ瞬間か」てのが法廷で争われていたことがあったね。
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いとうはるか @TKTKMTMTkkkk 2020年12月15日
たぶん実数の稠密性とかそういうアレになるので、高度な疑問だなぁ
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