「√2 を2乗しても1.999...で、2にならないのでは？√2は存在するのか？」生徒の質問に答えようとする数学関係者一同の議論

みゆき @miyuki_MathT

今日の生徒の発言 「ふと思ったんですけど、二乗して2になる数なんて本当に存在するんですか？√2=1.41421356…って二乗しても1.99…で結局2じゃないじゃないですか。本当にそこ(数直線の1点)にいるんですか？」 本当にビックリした。 それをふと思えるとか何者だw

みゆき @miyuki_MathT

訂正 数直線の→数直線上の

みゆき @miyuki_MathT

大体こんな感じで教えました(一部、何て言ったか覚えていない) その子は「二乗しても届かないのに数直線上にいるのか？」を聞きたかったのだと思い、このようにしました。 その子の宿題に循環小数を整数/整数に表す問題があり、解説あとに√2やπはどうなるのかという話からこうなりました pic.twitter.com/Y53ZrvCijg

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kzaukzau(カズカズ) @kzaukzau

@miyuki_MathT @ani_king_math 面白いなー 数学的には「コーシー列の収束」から存在を主張したいし、 数学の哲学的には「数学の奇跡的実用性」から数学を擁護したくなるな。 教育的、本人の利益、本人の感情面での納得 など、さまざまな議論ができそう。 √2が定める、連分数展開、n倍のmod1の一様分布性も面白い

みゆき @miyuki_MathT

@kzaukzau 学年的にどこまで説明すべきか迷いました… 噛み砕きはしましたが、簡単に２つのことを話しました 「実数の連続性を認めよう」 「1.41421…<√2<1.41422…と、両側から誤差を減らしていくと…？」 こういう視点を持てる高校生、たまりませんね☺️

エコ鉄 @eco_tetsu

@miyuki_MathT 数をどの様にとらえるか。 少数で表記だけに限定するか？ その数値を表す記号（例えば「√」）を考えていいのじゃないかと思う。 √2 は実在する。 pic.twitter.com/5hXXeD4koa

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エコ鉄 @eco_tetsu

@miyuki_MathT √Nについて思い出した。 pic.twitter.com/zcmCaEW9t2

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みゆき @miyuki_MathT

@63academic 結局のところ、円に近付くだけで辿り着かないとも見れますね🤔 無限を認め、円とみなすと見れるかどうか。 同じかどうかは… 円自体は存在しますので、半径1の円の半円弧の長さがどうなるか(=π)、πは数直線上にいるか(いないと困る)… 考え始めたらキリがありません💦

へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 無限小数はそれ自体がコーシー列を表してるんじゃないですかね 整数部をz、小数点以下n桁目をf_nである無限小数が与えられたとき、a_n=z+Σ[k=0,n]f_n/10^nというコーシー列が考えられて、この収束先が無限小数によって表される実数

へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 周期1の循環小数を0.111…の整数倍と考えるのは、定義というより無限小数の特殊な場合と考えて良さそう

Kozo Kamada @geo80k

@miyuki_MathT 高校では、連続の正確な定義は教えないけど、アプリオリに分かったつもりになっているとして、正方形の１辺のサイズを１から２まで連続に大きくしていくと、どこかで面積が２を超える。だから、面積が２になった瞬間の１辺の長さをルート２と呼ぶ。と言えば。

みゆき @miyuki_MathT

@geo80k 連続的に大きくしていくというのは失念しておりました…ありがとうございます！ 今回は、よくある1辺1の正方形のタイルの斜辺で作る正方形をとり、面積が2になるための一辺の長さの話をして、「"何か"がいるよね」という話から、放物線で説明しました

Kozo Kamada @geo80k

@miyuki_MathT あ、たまたま私が説明できる案件だっただけで、そんなに丁寧なご挨拶を頂くと恐縮です。 生徒さんが腹の底から納得してくれることを祈ります。 自分は若いときに、「後から考えると悩まずに通り過ぎた方が幸せだったのに」的な場所で引っかかったりしたので、生徒さんはうまく通過できると良いですね。

みゆき @miyuki_MathT

@geo80k いえいえ、助かりました😊 その子の言葉ですが、計算で見えない数なのに図だと見えるなんて不思議ですね！と言ってました😂 優秀な理系の人に成長してくれると信じてます😌

こうくん @koukun531

@miyuki_MathT たとえば厳密な3等分は可能なのかとか、直径10センチの真円の円周は何センチなのかとか、今でも疑問は尽きません。

ぬまち　#疑わしきはバツせず @numachi11111

@miyuki_MathT @63academic 0.99999…=1 も同様ですね。突き詰めると、デデキンドの切断に行くんですかね？（このあたりはよく分かってない）

Limg @LimgTW

@numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 0.99999…=1 は 0.111111…＝1/9 という循環小数の定義で決まるかと。 つまり、0.99999…＝0.111111…×9＝1/9×9＝9/9＝1 循環小数自体が無限桁込みで定義されてますので、穿った言い方すれば単純に表記の問題であり、無限桁を考えずにも単純に有限桁と「…」という末端記号を考えても通ったりします。

Limg @LimgTW

@hedalu244 @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic ①循環小数の場合は有理数を表し、非循環小数とは別にもっと簡単な定義が存在するのが一つ。また、②規則的なためにコージー列の値が規則的に決まり、つまり、分かり易い切開ができる、かつ、それは①の定義に一致する。ってところかな。

へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 循環小数は（その表記からも自明に）無限小数の特殊な場合なので、より一般的な無限小数と実数の対応のみを定義にしたいですね そうすれば、循環小数が有理数であることも、その値が〜〜〜/999...になることも、無限小数の定義から証明できる定理になるので

へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 逆に、0.111…×9=0.999…などを証明するのは有限小数の筆算（桁ごとの四則演算）が無限桁でも成り立つことを利用しているので、結局無限小数の定義が必要です 循環小数の四則演算を公理として導入すれば回避できますが、そこまでして一般の無限小数を避けるモチベーションがありません

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@hedalu244 @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 話の流れはこれ。 twitter.com/miyuki_matht/s… 恐らく結論は両方の定義を使うことになるかも。まず極限を認めてないので、②の定義は理解されない。円などと異なるのは、循環小数は①による別定義が存在し、充分厳密に1=0.99…を証明できる。そこで②の定義が有理数に関して①の定義に一致することを twitter.com/miyuki_MathT/s…

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@hedalu244 @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 確認することで、②の有効性（有効であるために当然満たすべき条件）が確認できる。コージー列の発想ではlim(1－0.99…9) →0 ⇒ 1＝0.99… を認めざるを得ない。

へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic ふむ… √2やπまで考えたいなら尚のこと、極限を導入したほうが早い気がしますね 近づくのみで一致しないというのは正しいが、数列にどこまでも近づく行き先があったとき、その行き先を同じくする数列と同一視するのが実数（これを無限の導入と読んでもいいけど、イメージされてるような曖昧さはない）

へだる @hedalu244

@LimgTW @numachi11111 @miyuki_MathT @63academic 有理数に極限を導入したものが実数なので、極限なしで厳密に扱うのはほぼほぼ不可能で、結果的に有理数になってくれる循環小数は例外的（この例外性を喜ぶか否かが私とLimgさんの争点？）