サツキとメイとおばあちゃんの数学教室

☢山下238☣　医薬部外者　銀河帝国皇帝 @Yamashita238

サツキ 「ねえおばあちゃん、算数の宿題教えて。『ネイピア数eが2以上3未満であることを証明せよ』」 おばあちゃん 「そうさねー、マクローリン展開を使って見るかね。 e^x(eのx乗)を展開すると、 1+x/1!+xx/2!+xxx/3!...となるさ。 ここでな、x=1のとき、式を左から2つめまで計算すると、」

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おばあちゃん 「1+1で2になって、3番目以降を足していっても、2より増えても減ることはないから、eの1乗、つまりeは必ず2より大きいって事になるさね。」 サツキ 「わかった！それでおばあちゃん、3未満になるってことは、どうやって証明するの？」 おばあちゃん 「ちょっと発想を変えるんさね。」

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おばあちゃん 「eが3を越えない、ということはな、eの逆数が1/3を越えるという事なんさね。 さっきのマクローリン展開の式にな、x=-1を代入して見るんさね。 e^(-1)= 1-1+1/2-1/6+1/12-1/60...」

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おばあちゃん 「これをな、4番目まで計算すると、1/3になるんさ。 そのあとな、どんどん足していっても、必ず増え続ける事が言えればいいんさ。 それじゃ、5番目と6番目の加減を見て見るさ。 1/4!-1/5! これを計算すると、 (5-1)/5! になるから、必ず4番目までより増えるさ。」

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おばあちゃん 「同じように、どんどん足していけば必ず、引き算の前に来る足し算のほうが値が大きいから、eの逆数は1/3より大きい、つまり、eは3より小さいって言えるさね。」 サツキ 「ありがとうおばあちゃん！」

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メイ 「(´；ω；`)おばあちゃーーん！　」 おばあちゃん 「おんや、どうしたんだい、メイちゃん？」 メイ 「ガチャ、何回やっても、☆３つの湯婆婆が出ないのー！今、イベントだから、１００回に１回は出るはずなのにー！メイ、もう１００回回したんだよー！」 サツキ 「私はもう出したもんねー！」

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メイ 「お姉ちゃんずるーい！(´；ω；`)」 おばあちゃん 「ほらほら、泣かない泣かない。でもね、メイちゃん。1/100の当たりが出るガチャを100回やっても、あたりが1回出るとは限らないんだよ。」 メイ 「そうなの？」 おばあちゃん 「計算してみようかね。」

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おばあちゃん 「当たりが1/100のガチャを1回まわしたとき、ハズレが出る確率は、 1-1/100 = 0.99　99％じゃね。 ほんでな、 『2回まわして2回ともハズレになる確率』は 0.99*0.99=0.9801 98.01%になるんじゃよ。」 メイ 「あれ？98%じゃないの？」

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おばあちゃん 「そこがミソなんじゃよ。 　ほんでな、100回まわして全部ハズレになる確率は、 (0.99)^100≒0.37　約37%なんじゃ」 メイ 「こんなのずるーい！運営の嘘つきーー！(´；ω；`)」 おばあちゃん 「ほらほら泣かない泣かない。おばあちゃんが面白いものを見せてやるかえ。」 メイ 「なあに？」

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おばあちゃん 「さっきの数字の逆数を、計算してみるんじゃ。 1/(0.99)^100=2.73199902643」 メイ 「あれー？　この数、　ネイピア数だ！」 サツキ 「ほんとだ！自然対数の底eだ！　ねえ、おばあちゃん、どうしてこうなるの？」 おばあちゃん 「式を書いてみるとわかるんさ。」

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おばあちゃん 「n回に1回当たりが出るガチャをn回引いても全部外れる確率は、 (1-1/n)^n 」 サツキ 「あれ？これって、自然対数の底eを計算する式 e= (1+1/n)^n　(n→∞) 　と、そっくり！」 おばあちゃん、 「そのとおりなんさ！」

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おばあちゃん 「さっきの式をf(n)として f(n)=(1-1/n)^n 　これをn→∞の条件で変形させると、 　 1-1/nの逆数は1+1/nになるから、 f(n)=((1+1/n)^n)^-1　と書けるんさ。そうすると、 f(n)=e^-1　となって、 nがじゅうぶん大きくなるとnとは関係なく、 確率1/eで当たりが一回も出ないってわけさね。」

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サツキ 「おばあちゃん、自然対数の底eってすごいね！」 メイ 「でも、ずるいよー！」 おばあちゃん 「ガチャに限らず、クジなんてのはそんなもんさね。当たりに期待しないほうがお利口さんだよ。」 メイ 「あ…やったー！　やったー！」 おばあちゃん 「どうしたんだいメイちゃん？？」

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メイ 「☆５の荻野明夫が出たーーーー！確率10000分の1の超レアキャラなんだよーー！」 サツキ 「あー！メイ、ずるーい！」 おばあちゃん 「クジなんて、あたるときは一回でもあたるもんじゃ。そのワクワク感を味わうのが、正しいクジの楽しみ方さね。」

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荻野明夫（千と千尋の、千尋の父） pic.twitter.com/TNBC3FnZDz

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