2021年5月3日

境界層理論→層係数コホモロジー

Grothendieck(1957)のアーベル圏の理論が必要とされた背景の研究史について考えてみた 追記:Heisenbergの有名な問いについて自分なりの回答を考えてみた
1
(change of )*state @TuvianNavy

馬鹿パラレル en.wikipedia.org/wiki/Embarrass… な問題における分割された問題の「成果」の加法性、というのは結局元の問題のどのような性質に起因するのか、というのがわからない(じぶんにはこれ以上深く考えても得られるものが少ないように思われる)

2021-04-22 17:52:25
(change of )*state @TuvianNavy

最近檜山先生が書いていることを見る限り、Grothendieckの1957年の仕事はまさにこれを考えるための枠組みになっているようなのだが、、

2021-04-22 17:59:46
(change of )*state @TuvianNavy

Prandtl→Leray→Grothendieckと話が極端に抽象化されてきているのでわかりづらいのだが、粘性液体中の剛体表面付近の層流と剛体から十分に離れた層流の間の乱流による一種のエントロピー調整機構と、n次元空間をm次元空間に射影する際の次元の潰し方膨らませ方にアナロジーがあるらしい

2021-04-22 18:13:25
(change of )*state @TuvianNavy

MacLaneのHomology (1963)で加群の外延化について考えてるのに突然単体分割(チェイン複体)の話が出てくる脈絡が2年前にじぶんには全然理解できなかったけどTohoku paper (Grothendieck 1957)の冒頭部の話は当時しかるべき人たちの間では前提されていた twitter.com/TuvianNavy/sta…

2021-04-26 03:32:01
(change of )*state @TuvianNavy

Stiffな領域の計算をするために割り当てた計算資源の担当する空間の粒度と、そうでない領域の計算をするために割り当てた計算資源の担当する空間の粒度は違うし、前者の方がより緻密に割り当てることになる

2021-04-22 18:20:01
(change of )*state @TuvianNavy

領域のStiffnessによって必要な計算資源が増減する、という話と、次元の呪いで計算資源が次元の指数関数に比例して必要になる、という話はどちらも計算資源間で必要な通信量と関係しているだろう

2021-04-22 18:32:26
(change of )*state @TuvianNavy

実際、Stiffnessというのは微小な相空間の次元、つまり速度場の高次微分の数の尺度なのだろうから、これらが突き詰めると同じ話になることは納得できる

2021-04-22 18:35:04
(change of )*state @TuvianNavy

じぶんは単純に計算資源に供給される(延べ?)クロックの違いとして理解している(空間計算量の違いをシングルスレッド性能でカバーしようとするとクロックを冪で上げていかないといけない)

2021-04-22 18:39:48
(change of )*state @TuvianNavy

この話を数学の話としてするにはKashiwara-Schapiraを読んで理解する必要がありそうで、とても生きている間にできそうもない

2021-04-22 18:47:55
(change of )*state @TuvianNavy

適応的メッシュ生成の話のようでもあり、計算機の中の「重力場」と「時間の流れの違い」について考えているようでもある

2021-04-22 18:56:46
(change of )*state @TuvianNavy

sectionの最適化がmesh generationだとして、この最適化計算そのものを高階の型推論として理解することは可能か? まあ分岐したものの和をとることでいくらでも複雑な型が作れるから、可能は可能だろうけど

2021-04-23 01:50:49
(change of )*state @TuvianNavy

型階層=位相空間、なので、最適な層係数の探索は最適な型階層の探索とみなせる もちろんここでいう「型階層」はAPIとして外から使うもの以外は人間が直接触ることはできないような代物になる

2021-04-23 02:03:33
(change of )*state @TuvianNavy

ただ、層係数の決定手続きは誰かKashiwara-Schapiraを読んでHoTTも読んで勉強して書いてもらうとしても、その手続きに与える層係数の探索条件が問題で、速度場の実際の分布は水槽や風洞で実験して知るしかない

2021-04-23 02:10:37
(change of )*state @TuvianNavy

結局、シミュレーションの健全さ自体はPrandtlがICM報告でやったように現実の観察に基づく必要がある

2021-04-23 02:11:46
(change of )*state @TuvianNavy

CFDライブラリの自動合成の研究、ということになるのだろうか

2021-04-23 02:14:36
追記:何故相対性なのか?何故乱流なのか?
(change of )*state @TuvianNavy

流体の相空間(速度場)がむやみに高階の階差を持つのはそれ自体に意味があるというより速度の異なるそれぞれの流れにおけるεの違いが実質的な次元の違いになる(のでいちばん速い流れを基準にΔtをとる必要がある)

2021-05-21 03:14:27
(change of )*state @TuvianNavy

速い流れと遅い流れがエネルギーをやりとりするためには遅い流れが速い流れを引っ張り込んで巻かせる必要がある(勉強のできる子は授業時間が退屈ならできない子に勉強を教えて授業のペースを少しでも早めようとする)

2021-05-21 03:19:11
(change of )*state @TuvianNavy

巻く為には(つまり速度の異なる流れが共存しつつ干渉する為にには)速度を逃がす為の余剰の次元が必要になる

2021-05-21 03:21:21
(change of )*state @TuvianNavy

何故相対性なのか?理想剛体は存在しないから。 何故乱流なのか?速度調整の為に速い流れを巻く必要があるから。

2021-05-21 03:24:16

コメント

コメントがまだありません。感想を最初に伝えてみませんか?