【記号不足】qとqドットは独立？ 解析力学の「オイラー・ラグランジュ方程式」の偏微分について詳しく知りたい！！【大学の物理学】∬∬∬

大学の物理学を独学しようたん @８年目の物理系学術たん(物独たん) @DaigakuButsuri

#解析力学_Lagrange形式編 32 #汎関数 S の停留条件より dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt の { } 内が恒等的に0 ∴ ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 これが #変分法 で導出される #オイラー・ラグランジュ方程式 であり， 物理学とは無関係に成立する.

double_quarter @quarter_double

解析力学、未だにqとq'が独立な理由知らない

くいなちゃん @kuina_ch

わたしが解析力学を勉強して最初に行き詰まったのが、ラグランジュの運動方程式で Lをxとx'で偏微分する際に、「xとx'は独立変数として偏微分する」、理由は「初期条件の取り方で任意の値を取りうるため独立変数とみなせる」とあったことが腑に落ちず、数学的根拠を探す旅に出てしまったことでした…。

よっぴーyoppy @socialecophys

@kuina_ch 腑に落ちない方が正しい

Yuta Kataoka（片岡） @yutkatkitkat

確かに解析力学におけるq'に関する偏微分はよく分からなかったので、多様体を学び、ラグランジアン（などの物理量）は配位空間Mの接バンドルTM上の関数であることを明確に意識して、配位空間Mの局所座標(q_1,…,q_n)に対してカノニカルに決まる接バンドルTMの局所座標(q_1,…,q_n,q_1',…,q_n')に

Yuta Kataoka（片岡） @yutkatkitkat

関する偏微分を考えていると意識する訓練をした。

こげぱん @kogetxk

数学の人が書くと、オイラー・ラグランジュ方程式の解が接束上の流れを定義して、接束上の実数値関数と流れの合成関数を時間微分してるということになって、chain ruleを使ってるのは自明なんだが。

PSX @PSXase5

身も蓋もない言い方すればL自体はL:I×Ω×ℝᴺ→ℝ(I:open interval,Ω⊂ℝᴺ:open)でLの第2,3変数による偏導関数は定義できるからy:I→Ωが与えられればそれに(x,y(x),y'(x))を代入できるよねということ

藤本💨数学メインでたまに物理 @hiroshi_mth

「配位空間Nを多様体と見るとき、ラグランジュ形式の力学では一般化速度(\dot{q}^i)はその接ベクトルで、一般化運動量(p_i)=(∂L/∂\dot{q}^i)はその余接ベクトルと見なせる」という解説。美しい〜！ pic.twitter.com/cq3sgWf9rY

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佐久間 @keisankionwykip

解析力学あるある 教員「x,y,y'を独立な変数だと思ってy'での微分も考えて〜」 物理学徒「yとy'は本当に独立ですか？」 教員「こういうもんだ！覚えろ」 数学徒「そこはx,y,y'での偏微分ではなく、座標自体による偏微分の結果の引数にx,y,y'が代入されていると考えるべきです」 物理学徒「なるほど👏」

とある高専卒業生 @subarusatosi

これ、もう100年以上言われ続けてそう。 もう終わりにしないといけない。 twitter.com/keisankionwyki…

カピバラ社畜 @SyatikuCapibara

ラグランジュ方程式のdq/dt微分ってこの説明に当てはめるとどうなるんだっけ？よくわからない。 twitter.com/keisankionwyki…

dif_engine @dif_engine

なんで「代入してから微分」と「微分してから代入」を明確に区別する記法が流行らなかったんだろう？

MATLAB'zのLIVE Editorにようこそ！ @nonlinopt

解析力学のオイラー＝ラグランジュ方程式の導出 なぜ、学生が十中八九誤解する書き方をしたり、独自の記法を導入したり、機械的な計算ですむことを解釈でゴリ押ししようとするのか？謎、本当に謎。微積の教えの通り普通に書けばいいのに。一度きちんと書いてから省略した書き方について注意す、文字数

理系千手観音 @rikeisenjucanon

ラグランジアンのxとdx/dtを独立に偏微分できる云々議論はもういい加減偏導関数に引数を代入しているってことで決着がついてるから十分だろ。 それより量子力学のエネルギー期待値の変分原理で「ψは複素関数なのでψとψ^*は独立に動かすことができる」ことのほうがよっぽど納得いかないぞ自分は。

いがりす @igaris

測地線の方程式の導出を理解した。オイラー・ラグランジュ方程式は直接は経由しないで、素直に合成関数の微分を適用すると上手くいった。一般の関数で何故オイラー・ラグランジュ方程式が成り立つのかは分からない。

いがりす @igaris

オイラー・ラグランジュ方程式の導出でxとx'は独立でないのに独立であるとして微分しているように見えるのは何故かという質問に対して合成関数の微分をしてから代入しているのだとの回答があるがこれは単なる言い換えに過ぎないのでは。

いがりす @igaris

オイラー・ラグランジュ方程式の導出において x と x' は独立であるように見えるが従属だというのは確かにその通りなんだけど、単なる合成関数の微分だと言い切るのにも語弊があって、実際には合成関数の微分をしたあとで ε に 0 を代入して初めて目的の方程式が得られるのだ。

いがりす @igaris

∂I/∂ε=0 なんじゃなくて ∂I/∂ε|_{ε=0}=0 なんだよね。

MATLAB'zのLIVE Editorにようこそ！ @nonlinopt

関数と関数値の区別がついていないことが原因で、合成関数の微分に混乱が生じているのだな、きっと。

toyo @toyo9

個人的な話ですが、合成関数は微分積分でもお馴染みのもので、一方、汎関数はオイラー＝ラグランジュ方程式と共に紹介されて「ほえ～、難しそうだな～。」と思いました。なので、あまりこの二つを比較しようと思わなかったですね。 twitter.com/ubeyuto_GAG/st…

うべ@しがない物理学徒 @uveyuto

なるほど、数学ガチプロから見ると汎関数と合成関数の違いにつまずかなかったからこれは一般論で論じようとしている体裁なんだ。 twitter.com/uveyuto/status…

2019-09-14 14:39:11