数学・無限・計算可能性・宇宙

KDD Hotta @KDD

数学には宇宙があふれている。

@igaris

将来的に無限回の計算ができるコンピューターが開発されて、数学の全ての命題の証明可能性に決着がつく日は来るのだろうか。

@igaris

そうでなくても、充分高性能のコンピュータができれば、人間が証明できることは全てコンピュータが証明できる。

@igaris

そういう意味では、物理学より数学のほうが学問としての「終わり」が近いのかもしれない。

@igaris

物理は観測可能な領域が広がる限り発展し続ける。

T.Sugiyama @caspar394

人間は有限なので㍉。Ωも定義が循環気味だし結局停止性判定が手証明になっちゃうだろうから、ある意味計算力だけ増えても無駄かと RT @igaris: 将来的に無限回の計算ができるコンピューターが開発されて、数学の全ての命題の証明可能性に決着がつく日は来るのだろうか。

Takayuki Kihara @tri_iro

訂正。そもそも、無限回の計算が許されるなら、真偽を確定しなければならない文も無限長のものが許されて（つまり、"表現できる文"の定義も拡張されて）以下エンドレス http://twitter.com/Caspar394/status/6567781962

@igaris

@tri_iro そうかもしれませんね。ただ、自分は有限の長さの命題だけを問題にしていたので。

@igaris

無限の長さを持った命題であっても、そのうちで人間が定義できるのって可算無限個しかないんじゃないか。

Takayuki Kihara @tri_iro

@igaris そういう対象が可算無限個であるという結論は、有限的な操作しか行えない、という前提の下でしか成り立ちません。たとえば、無限言語や無限論理では、定義可能なのは非可算個に増えるし、無限回の計算を前提とするなら尚更です。

Takayuki Kihara @tri_iro

無限なんてそんなオカルトありえません

@h_kagami

無限なんて幻想です。物理世界にも数学世界にも存在しません。

@naotoakiyama

@h_kagami え？本当に？これはネタですかマジですか？＞＜

@h_kagami

. @naotoakiyama ネタにちかいです。ただし無限という概念が有限の言葉で定義されてるということは事実です。

@naotoakiyama

.@h_kagami なるほど。例のε-δ論法などもですね。

@igaris

@tri_iro 人間は有限的な操作しか行えない、という前提での話ですので。

@igaris

人間が操作している機械の内部で非可算無限個の定義は生み出されているかもしれないけど、それは人間が直接生み出したものではないし、認識もできない。

Takayuki Kihara @tri_iro

計算速度はさておき、「機械に可能なこと⊆人間に可能なこと」派なので（包含関係は真だとは思わないけれど）、機械が生成できるけれど人間に生成できないものなんて考えられないなあ。

@igaris

なるほどー。自分はその逆派です。

Takayuki Kihara @tri_iro

計算可能性理論で実際にがちゃがちゃ手を動かしてるうちに、だんだん「（計算速度を無視すれば）機械に可能なこと＝人間に可能なこと」なのではなかろうかという気分にはなっていますが。

@igaris

ふむー。その辺の境地は、自分には到底理解できないところにあるような気がします。訓練を積んだ人の数学的感性というか。

@igaris

朝にドーナツを美味しく食べるため、寝ることにする。

Takayuki Kihara @tri_iro

計算可能性というものを自然に考えれば、Aさんがfを計算するために補助的な機械を作ってその機械がfを計算したとしても、Aさんがfを計算したと言うべきではなかろうか的な。推移律なりたってほしいというか。

@igaris

朝にドーナツを美味しく食べることに失敗した。

@igaris

猿にできないことで人間にできることがある。