(保管) 山田への熱力学

物理たん (大学の物理学の入門用・学術たん。物理学たん) @buturi_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS 問3 (1) 理想気体に対し、 熱、温度、熱平衡を定義せよ。 (2) 理想気体を仮定しない場合 熱、温度、熱平衡を定義せよ。 ※なお定義において循環参照が生じてはいけないし、未定義の語を使ってもならない。 実際に着手して解答作成を試みると、この問題はとても難しい。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への熱力学 問１０ カルノーサイクルの効率が η ＝ 1 － (低熱側の温度) / (高熱側の温度) であることを示せ。 またここから， 熱源を使って仕事を生み出すような機関について どんな一般的な性質が言えるか。

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※注記:「全微分と偏微分を使って」計算せよ、との但し書きが必要。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 講評 この計算過程は、暗記する必要がある。 カルノーサイクル - Wikipedia ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB… 断熱圧縮→ 等温膨張→ 断熱膨張→ 等温圧縮 の4つのプロセスについて一つずつ、どういう計算になるかの過程を即答できるようにしておきたい。 ここから熱力学第二法則につながる。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への熱力学 問１７ 太陽と地球の エネルギーのやりとりの関係性を 熱力学の観点からモデル化せよ。 具体的には，下記の点を考慮せよ。 ①地球は外界と物質のやりとりをしない。(隕石など考えない) しかし地球は唯一，太陽から太陽光を受け取る。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ②太陽は，常に一定の太陽光を宇宙空間へ等方的に(球対称に)放射し， そのうちのごく一部がエネルギーとして地球に届く。 太陽は熱源装置として単純化して考えてよく，太陽のエネルギー源は考慮しなくてよい。(核融合などの現象まで踏み込む必要が無い)

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@zattanatubuyaki @C4TTUS また太陽や地球の大きさは考慮しなくてもよい。(太陽からの電磁波を地球側で受け取る面積などを考えなくてよい) ③温暖化の影響は考慮しない。 つまり，地球は太陽から太陽光の形で常に一定のエネルギーを受け取り続けているが 「地球がだんだん暖まって熱されてゆく」ことは無く，地球の温度は一定。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 上記の①～③を加味した熱力学的な系を， 数式(熱力学関数の微積分を使った式)で表せ，ということである。 また、モデリングとは 時間変化(ダイナミクス)を微分方程式で表して挙動を記述・予測する という事を意味するので、 tの微分方程式として書く必要がある。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS エネルギーを与える側と受け取る側だけを考えればよいわけで， 一見簡単な問題に思えるが， 熱力学の言葉を使ってどう表現できるだろうか？ また③では地球の温度は定常状態にあるとしているが， もし地球上の温度の時間変化を加味する場合は，どのような熱力学的モデルになるか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問17の講評 「地球　太陽　熱力学　モデル」 などでググってみて自分なりにモデルを立ててみよ。 計算機でシミュレーションしてみるのも良い。 条件③が成立するのはなぜかきっちり考えるとよい。例えば ・吸熱と排熱の間に、エントロピーSの増減を介在させることはできるか。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ・吸熱と排熱の機構に地球の自転が関与していると考えた場合， 地球を機能的に1個の要素とみなすのではなく， 「地球(昼側，吸熱)」と 「地球(夜側，排熱)」の２つの機能側面に分離して、 それら2つが常に同時並行で動いている旨をモデリングできるかどうか。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ・「非平衡熱力学」という物理のジャンルがあって，熱平衡でない系や、エネルギーの散逸(dissipation)が生じる場合を定量的に取り扱う事ができる。("散逸系" でググれ) また②を，電磁波のポインティングベクトルの観点から　光⇔熱エネルギー　の相互変換で計算できるようになることも目指そう。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への熱力学 問24 熱力学では全微分がよく出てくる。 とつぜん dz ＝ a dx ＋ b dy のような式が現れ， ろくに説明もされず 「どうしてdxとdyを足し算できるんだろう」と謎に思いながら よくわからないまま， 騙されたような気持ちで むやみに形式的に計算させられるのが常である。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS そのハードルを解消するために， 全微分の意味をちゃんと考えてみることにしよう。 問題： 「全微分可能」の定義の意味を， ベクトルの内積をつかって分かりやすく説明せよ。 具体的には下記の手順で示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS xy平面上で定義されたスカラー値関数 z ＝ f( x, y ) で z_1 ＝ f( x_1, y_1 ) z_2 ＝ f( x_2, y_2 ) f_x ＝ ( ∂f/∂x )_{ x＝x_1, y＝y_1 } f_y ＝ ( ∂f/∂y )_{ x＝x_1, y＝y_1 } と書き，

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@zattanatubuyaki @C4TTUS xy平面上で点( x_1，y_1 )からの増分⊿x, ⊿yに対応するzの増分が ⊿z ＝ z_2 － z_1 ＝ f_x ⊿x ＋ f_y ⊿y ＋ ε　① と書けて lim{⊿x→0, ⊿y→0} ε / √( {⊿x}^2 ＋ {⊿y}^2 ) ＝ 0　② ならば f( x, y ) は ( x_1，y_1 ) において全微分可能である。 しかし上記の定義では意味が分かりづらい。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ①式の末尾で誤差らしきものをεとおいているのはまあ分かるが， その誤差 ε を②式ではよくわからない分母の式で割って極限を取っている。 どうして②の式が急に出てくるのだろうか。 ②の定義に必然性や自然さはあるのか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (1) 曲面 f( x, y ) および 点 ( x_1, y_1 ) における f( x, y ) の接平面を， x_1 ≦ x ≦ x_2, y_1 ≦ y ≦ y_2, z_1 ≦ z ≦ z_2 の範囲で空間内に図示せよ。 この図はマセマ「微分積分」の4章「2変数関数の微分」の§3「接平面と全微分」の項にも載っている。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) xy平面上での微小変位を表すベクトル ↑h ＝ ( ⊿x，⊿y )^T および点 ( x_1, y_1 ) での偏微分係数の数値を並べた定ベクトル ↑c ＝ ( f_x, f_y )^T を使えば 点 ( x_1, y_1 ) における f( x, y ) の接平面の 点 ( x_2, y_2 ) での高さ zは z － z_1 ＝ ↑c・↑h　③ の形で表される事を示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ※つまり偏微分値↑cを変位↑hで重みづけして足し合わせたもの(線形結合，1次の和)が接平面をなすのである。 このようなベクトルの内積による全微分の定式化は， 杉浦「解析入門Ⅰ」のⅡ章「微分法」§5「多変数実数値関数の微分法」の式(5.3)などにおいて「微分可能」の定義で使用されている。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) ↑x_1 ＝ ( x_1, y_1 )^T ↑x_2 ＝ ↑x_1 ＋ ↑h ＝ ( x_2, y_2 )^T とおいて③を変形すると，接平面gは g( ↑x_2 ) ＝ g( ↑x_1 ＋ ↑h ) ＝ f( ↑x_1 ) ＋ ↑c・↑h と書ける。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 点 ↑x_2 において 曲面 f( x, y ) と平面 g( x, y ) の差 すなわち接平面による曲面の近似誤差を ε ＝ f( ↑x_2 ) － g( ↑x_2 ) と定義すると ε ＝ f( ↑x_2 ) － f( ↑x_1 ) － ↑c・↑h ＝ f( ↑x_1 ＋ ↑h ) － f( ↑x_1 ) － ↑c・↑h　④ となる事を(1)に倣い空間内の図示により理解説明せよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (4) ④式において， 接平面による曲面の近似誤差は ε ＝ f( ↑x_1 ＋ ↑h ) － f( ↑x_1 ) － ↑c・↑h であるが，この誤差を小さくすることを考える。 xy平面上での微小変位 ↑h が微小である時に 上記の誤差 ε が無視できるほど小さくなるためには， ↑h が0に近づくスピードよりも

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@zattanatubuyaki @C4TTUS はるかに速いスピードで εが0に近づかなければならず， このオーダー評価を ランダウの小文字オミクロン記法を使って ε ＝ o( | ↑h | ) と書く事ができなければならないことを示せ。 ※ランダウの記号 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (5) (4)において ε ＝ o( | ↑h | ) が成立するゆえに 微小変位 ↑h が小さくなるスピードよりも速いスピードで 誤差 ε が0に近づくとき， ④との連立から f( ↑x_1 ＋ ↑h ) － f( ↑x_1 ) － ↑c・↑h ＝ o( | ↑h | ) であるゆえに，