(倉庫) 山田への数学

数学たん (大学数学大好き@学術たん) @mathematics_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS 問5 (1)Wolfram Alphaを使って微分方程式を解く方法を学べ。 チュートリアル:微分方程式 ja.wolframalpha.com/examples/mathe… y''''+y'''+y''+y'+y=0 wolframalpha.com/input?i=y%27%2… y''''+y'''+y''+y'+xy=0 wolframalpha.com/input?i=y%27%2… (2)微分方程式の演習書から問題をいくつか選び，Wolframに解かせてみよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3)Wolfram Alphaを使って行列の問題を解く方法を学べ。 Wolframチュートリアル: 行列 ja.wolframalpha.com/examples/mathe… Wolframチュートリアル: 連立方程式 reference.wolfram.com/language/tutor… {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}} の逆行列 wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 続き Solve[ {{2,1,3}, {5,6,4}, {9,8,7}} . {x,y,z} = {10,11,12}, {x,y,z} ] ※行列に右から縦ベクトルをかける操作は，半角ドット . に横ベクトルを続ける。 wolframalpha.com/input?i=Solve%… (4)自身が保有する線形代数の演習書から行列計算の問題をいくつか選び，それらをWolfram Alphaに解かせてみよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 講評 物理学科ではじめに学ぶ事柄は， 数学科では最後に学ぶ。 逆に 数学科ではじめに学ぶ事柄は， 物理科では最後に学ぶか，またはいつまでも学ばない。 数学科と物理学科で， 物事を学ぶ順序 手を付ける順序， 各情報を導入する経緯が たがいに全く逆なのである。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 物理を志す者が重視する必要があるのは 「具体的な問題を解けるようになる事」であって，それが全て。 そして， 具体的な問題を解いた時に 検算のために電卓を使うが， 大学生になるとその「電卓」がWolfram Alphaなのである。 使い方に習熟しておこう。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への数学 問１２（解析学） 下記の不定積分について， おのおの計算の過程をしるせ。 計算結果そのものは Wolfram Alphaで自動的に得られるが， なぜその計算結果になるのか 途中の計算式を書くこと。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (1)高校レベル： 1 / (x + 1) の不定積分 wolframalpha.com/input?i=1+%2F+… (2)大学1年のSセメレベル： 1 / (x^2 + 1) の不定積分 wolframalpha.com/input?i=1+%2F+… 1 / (x^3 + 1) の不定積分 wolframalpha.com/input?i=1+%2F+… 1 / (x^4 + 1) の不定積分（※重要） wolframalpha.com/input?i=1+%2F+… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) 有理関数の不定積分は，有理関数と対数関数とArctanで表されることを示せ。 (4) 1 / ( x^n + 1 ) の不定積分 wolframalpha.com/input?i=1+%2F+… この計算結果に超幾何関数が現れるのはなぜか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS パートB　線型代数編: (1) 行列式 det(A) を定義せよ。 (2) 下記の各々に対し行列式の計算方法を述べよ。  (a) 2次正方行列  (b) 3次正方行列  (c) 4次以上の一般の正方行列 (3) (1)の定義に基づき， det( AB ) ＝ det(A) det(B) を示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (4) 積の写像が写像の積に等しいような連続写像は，行列式のべき乗に限られることを示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS この(4)を言い換えると下記のとおりである。 連続な写像 f を考える。 f は，実数を成分にもつ n 次の正則行列 X を引数にとって，実数を返すような写像とする。 f は f( XY ) ＝ f(X) f(Y) をみたす。 このとき，ある実数sが存在して f( X ) ＝ { det( X ) }^s　となる事を示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS Bパート（線形代数）の講評: (4)は東大出版「線形代数入門」(斉藤) p214を参照。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への数学 問19（線形代数） 3つの数列がある。 a(n+1) = a(n) - c(n) b(n+1) = 3 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) c(n+1) = 6 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) 行列のn乗を使って，これら3つの数列の一般項を求めよ。 ただし，手書きの計算だけで行なうのではなく， 計算機で行列を自動計算する事によって

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 自分自身の計算が正しいかどうか「答え合わせ」しながら進めることにする。 そうすれば，自分自身の手計算の結果が正しいかどうか正確にチェックできる。 具体的には下記の手順で行なってみよう。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (1) 行列 M ＝ { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } } Wolfram Alphaでこのn乗を求めるコマンドは… { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } }^n ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 行列のn乗の一般項が出力される事を確認せよ（これで答え合わせが可能になった） なぜこのように求まるのだろうか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) (1)で行列Mのn乗を容易にWolfram Alphaで計算できた理由は Mがたまたま「対角化できる」という 良い性質をもった行列だったから。 Mを「対角化」するとは 対角成分のみを持つ行列（対角行列）Jを用いて M = S J S^(-1) の形に分解するという意味だが， 実際に行列Mをこの形式に分解してみよう。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 行列の対角化はJordanDecompositionコマンド。 JordanDecomposition[ { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } } ] ja.wolframalpha.com/input?i=Jordan… →出力が M = S J S^(-1) S = { {-1, -2, -1 }, {3, 5, 3}, {0, 2, 2} } J = { {1, 0, 0 }, {0, 2, 0}, {0, 0, 3}} となり Jが対角行列である事を確認せよ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) 対角行列のn乗は，各対角成分をn乗すればよい事を示せ。 ※(2)で対角行列Jをわざわざ持ち出したのは， 非対角行列Mのn乗は計算しにくいが 対角行列Jのn乗は計算しやすいからである。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (4) (3)の具体例として，対角行列Jに対しJ^nを求めるコマンドをWolfram上で試してみよ。 { {1, 0, 0 }, {0, 2, 0}, {0, 0, 3} }^n ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (6) S = { {-1, -2, -1 }, {3, 5, 3}, {0, 2, 2} } J = { {1, 0, 0 }, {0, 2, 0}, {0, 0, 3}} のとき， S J^n S^(-1) を具体的に計算する事によって (1)で求めたM^nの出力結果と計算結果が一致することを確認せよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS それを確認するコマンド： { {-1, -2, -1 }, {3, 5, 3}, {0, 2, 2} } . { {1, 0, 0 }, {0, 2, 0}, {0, 0, 3} }^n . Inverse[ { {-1, -2, -1 }, {3, 5, 3}, {0, 2, 2} } ] ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… ・行列の積は . (半角ドット)で記述する。 ・逆行列は Inverse[ ] コマンドを使う。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (7) (1)および(6)で求められたM^nの値を使うと，冒頭の題意の数列の一般項はどのように表されるか。 (8) (1)～(6)により， 「非対角化行列Mを対角行列Jを使った形に書き改めれば(対角化すれば)行列のn乗が計算できる」 ということがわかった。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS しかしそもそも，「非対角化行列Mを対角行列Jを使った形に書き改める」事ができる(行列を対角化できる)のはどうしてだろうか？ 固有値と固有ベクトルの概念を使ってその原理を説明せよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問19の講評 （線形代数）対角化と行列のn乗： 固有値が1,2,3であるような対角化可能な行列の数値例として，下記出典に掲載されている行列を使用した。 共立出版「詳解　線形代数演習」5章　固有値と固有ベクトル 問題[4](2) なおここでは対角化に用いる変換行列は直交行列にする旨の指定はない。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田への数学 問２６（線形代数，対角化の続き：Jordan標準形） 問19では，3変数漸化式を行列の対角化によって解いた。 今回はそれと似た問題設定だが，同じ方法が使えないパターンを見てみよう。 「行列を対角化できない場合は，どうやって行列のn乗を求めるのか？」というものである。