三角比と三角関数を必ずしも区別しない立場のまとめ

鴨浩靖

計算可能トポロジー

このあたりは「超算数」の問題として知られる．教育学の算数・数学教育の世界では，教育上の便宜のための仮の取り決めを数学的ルールと勘違いしたり，そうした謎ルールを大量に生み出すことで問題となっている．

嘉田勝

集合論的トポロジー

渡邉究

代数幾何

「三角関数ではなく三角比」みたいな反応をしていないことに注目

はむかず

機械学習，代数幾何，計算幾何学

Conclusion

数理科学者集団の中でも，三角比と三角関数という言葉を同じように使うことは必ずしも問題とされず，またそもそもそれらの区別が言語実践に組み込まれていない場合がある，ということが分かるかと思う．

ソリッドに区別する一貫した流儀もあるのだろうが，そうではない（それも数理科学業界ではかなり一般的な）流儀も存在するのであるから，「三角比と三角関数を交換可能な言葉として用いるのは絶対的な誤り」という主張が誤りであることで決着している．これ以上なにか言葉を付け加える必要はないと信ずる．

Disclosure

編纂者は「敢えて区別したいなら勝手にどうぞ」「そういう言葉遣いの流儀もあっていい」という立場です．重要なことは，これは言葉遣いの流儀の問題であって，数学の問題ではない，ということです．

例えば，数学では「指数関数」という言葉で「(x, y)→x^y や x→c^x や exp だけでなく cos や sin をも含めたものを指す」と宣言しておけば，（マイナーだとか筋の悪い用語法だとかいう批判はありえても）間違いではない．

もっとも，個人の言葉遣いの流儀を他者に強制したり，その流儀に基づいて他の流儀に従う他者の言語使用を間違いと断定したり，ましてやそれをもとに無学と嘲笑することが，きわめて問題ある振る舞いであることは今更言うまでもないだろう．

行列計算を使って初歩的な統計処理を行うことを「線形代数の応用」と言ったひとがいたとして，それに「それは行列論だ」「（抽象線形空間を扱う）線形代数とは違う」などとツッコミを入れるのが的外れであるのと同様です．

数学で他人にマウントを取りたいなら言葉遊びではなく数学をしましょう（何であれ他人にマウントを取るべきでない）

Addendum

全く読めてないひとがいるので「勝手にどうぞ」の具体例を幾つか挙げておく．

sin, cos, tan を [0, π) に制限した関数の各々を三角比と呼び，sin, cos, tan を R 上で定義した関数の各々を三角関数と呼びたいなら勝手にどうぞ．その用語法を採用している文脈の中では「三角比と三角関数は異なる」は真な数学的言明である．

sin, cos, tan の応用のうち三角測量に関するトピックを「三角比」と呼び，そこから真に逸脱するトピックを「三角関数」と呼びたいなら勝手にどうぞ．その用語法を採用している文脈の中では「三角比と三角関数は異なる」は真な非-数学的言明である．

（tan だけ使った応用は「正接関数の応用であって三角関数の応用ではない」と言っているのと大差ないが．）

通常の sin, cos, tan やそれの自然な拡張や制限はなんであれ「三角関数」と呼ぶ．たとえば sin の定義域を [0, ∞) や [0, 2π) に制限したものも，R 上の sin を C 上に解析接続したものも，どれも「三角関数」と呼ぶし，何なら全て同じ記号「sin」で表す．さらにまた三角関数の理論一般（トピック）のことも「三角関数」と呼ぶ．三角関数という関数族やトピックの直角三角形の比という点を強調したいとき「三角比」と呼んだり，sin や cos の波形の関数モデルとしての性質を強調したいときに「正弦波」と呼んだりもする．そうしたいならご勝手に．いちいち明示することはないだろうが，実際にはこれが数学者に最もお馴染みの流儀だろう．この流儀では「三角比と三角関数は異なる」は偽な非-数学的言明である．単にアクセントが違うだけであって指示対象は同じであるから．

もちろん数理科学者のマジョリティの流儀に従う必要は（他の流儀に従う必要がないのと同様）ない．数理科学者とコミュニケーションを取る場合は従っておいたほうがスムースだろうが．教育学者や教員が三角比と三角関数を何らかの基準で区別する流儀を使っていても全く構わない．異なる流儀に従う者（とりわけ児童や生徒）に不利益を与えない限り．

追記：ここでいう「数学的」と「非-数学的」の区別は，数学内の主張であるか，数学外の主張であるか，というものである．「非-数学的」とは「数学外の話だ」という意味であって「数学に反する（数学的に間違いだ）」という意味ではない．

定義域云々

三角関数族のうち sin と cos は R 上で定義されたそれのみを表すという流儀を考えてみよう．（そして tan は R-cos^{-1}(0) で定義されているものだけを表すのだろう．）この流儀では C 上に解析接続された sin や cos は「三角関数」と呼ばないということになる．そのような流儀で書かれた複素解析の教科書を私は知らないが，もちろんそういう流儀を採用しても結構．

ところで sin と cos （であって定義域が R であるもの）は周期 2π の関数だった．このような関数は商 R/2πZ 上の関数を一意的に誘導する．この関数も「三角関数」と呼ぶことができない．数学業界ではこれも「三角関数」と呼ぶのが普通だが，もちろんそういう流儀を採用しても結構．（R→R と R/2πZ→R を完全に同じものと見做すという話ではなく，単に同じ言葉で呼び表すという話である．）

追記：シュワルツ超関数空間，コロンボ超関数環，ミクシンスキ演算子の体などに埋め込まれた三角関数たちは（単に三角関数の値を対応付ける関数という意味では）もはや関数でさえない．それぞれテスト空間上の連続線形作用素，関数族の同値類，畳み込み代数上の形式的な分数となるのだった．これらも「三角関数」と呼びたいことがある．これはもはや定義域云々ではどうにもならない．もちろんそのような「三角関数」をいちいち別の名前で呼ぶ流儀を採用するのも自由である．

追記：数学内部における写像の定義上，定義域が異なる写像は数学的なequalityの意味で異なる．これは数学内部において真な命題である．（集合論などのFoundation of Mathの上で）普通に定義された写像について語っている限り，定義域の異なる写像は数学的なequalityの意味で異なるということは，どの立場であっても真である．（写像の定義域の話とは違うが，同型な対象がequalityの意味でも等しくなってしまうような型理論的なFoMも存在する．この理論について語っている場合には，どの立場であっても，isoな対象はequalである，ということは真な数学的命題である．）このことと，定義域がどんなものであれ，あるいは（値の食い違いがあるような）一意的でない色々な拡張であれ，どれも「三角関数」と呼ぶこととは，何ら矛盾しない．とくに私が「数学者にお馴染みの流儀」としているものと矛盾しない．

たとえば sin(2x) と sin(x) は定義域以前に値が食い違うので，数学的なequalityの意味で異なる対象だが，どちらも「三角関数」と呼ぶだろう．sin|R は「R 上定義された三角関数」であり「sin|[0,2π)」は「[0, 2π) 上定義された三角関数」である．どれも「三角関数」である．それらを言葉遣いの上で区別しないという意味で区別しない（というのがお馴染みの流儀である）．このことは「数学の外の言葉遣い」の話である．延々と数学内部のequalityについて語っているひとはポイントを外している．

定義域をsensitiveに区別しておかないと変なことになる場面は当然いくらでもある．たとえば「N で定義された定数関数」は原始再帰的関数だが，「Halt で定義された定数関数」は原始再帰的ではない再帰的部分関数である．そして「Halt^Halt で定義された定数関数」は再帰的ですらない．（ここで「定数関数」という言葉は「N に値を取る定数関数たちの総称」として用いられている．別の場面では複素数値の意味で用いたり，特定の定数関数の意味で用いたりもするだろう．）よって計算可能性理論の文脈では定義域にsensitiveにならないと間違えやすい．しかしこうした場面をいくらあげたところで，そのことは「お馴染みの流儀」の欠陥の指摘になってはいない．

追記：その前に「三角比を sin|[0,π) の意味で用いる用法」自体が共有された流儀でないことに気付くべきである．「三角比と三角関数は同じか否か」という問いを「定義域の異なる三角関数を同一視するか」という意味に解釈すること自体が言葉の使い方に依存しているのである．

所謂「文系」に対する謂れのない非難について

数理科学者でなくても問題の切り分けができる人ならあのようなポイントを外した批判はしない．分析哲学者はこのあたりの問題の切り分けが比較的得意なはずである．相手の主張をできるだけ簡単に論駁できる形に歪めて解釈し批判することを禁じるのが「principle of charity」という作法だった．日本では「チャリタブル・リーディング」と呼ばれることもある．

件の議員の発言は，三角測量を三角関数の応用と見做す（おそらく大抵の数理科学者が同意するところの）言葉の流儀のもとでは，正しく三角関数の応用について語っているのであって，「三角比と三角関数を混同している」は適切な批判ではない．

「そんな初歩的な応用しか思いつかないのか」という揶揄を込めたレトリックとして「三角関数ではなく三角比の応用だろう」と言ったのだとしよう．しかし，一般大衆に離散フーリエ変換に基づく非可逆圧縮の原理だとかデジタルカメラの美肌フィルターの原理だとかを説明したところで通じないから，最も初歩的な例を挙げただけかもしれないのだから，本当に初歩的な例しか思いつかなかったとは限らない．したがってこれも適切な批判ではない．

使用頻度について

「お母さん」と「母」は同じ意味だがニュアンスだけが違う．しかし公の場で多くの成年者は「母」を使う．

行列の「積」も「乗法」も「掛け算」も同じ意味だがニュアンスだけが違う．例えば「乗法」や「掛け算」という語には，その結果 AB というよりも，関数（演算子）自体 M_nm(R)×M_mk(R)→M_nk(R) や，その計算・方法というニュアンスがなくはないが，AB のことを A と B の乗法や掛け算と呼んでも別に差し支えはない．しかし大抵の数学書では「積」という用語が採用される．

ある複数の語をソリッドに区別しないことが一般的であることと，それらのうち特定の語のみが頻繁に使用される／されないこととは，完全に両立的である．

また見かけ上（文字列として）同一な語が複数の意味で使われることもある．上の例では「積（乗法・掛け算）」という語が，積関数の意味でも，積の結果の意味でも用いられている．（さらにまた行列環以外の代数系における積の意味でも用いられるだろう．）このケースでは指示対象が数学的対象だが，数学の単元を指示対象とすることもあるだろうし，その単元で扱われるトピックを大雑把に指示対象とすることもあるだろう．

・語の使用には複数の流儀がある
・見かけ上同一な語が複数の異なる使用を持つ場合がある

追記：日本語における「三角比」と「三角関数」という言葉の使用を調べるために，その英語での直訳の使用（しかも頻度）を調べるという手法をとっているひとがいるが，これは言語学の調査手法としてきわめて問題である．

三角形と波

三角関数という数学的構造の三角形としての現れを「三角比」，波としての現れを「三角関数」と呼ぶという流儀もあるらしい．（冒頭に引用した鴨氏のTweetはこの流儀について語っている．）もちろんそうするのも自由ではある．ところで以下の定理に出てくるsinは「三角比」だろうか？それとも「三角関数」だろうか？