2022年5月27日

三角比と三角関数を必ずしも区別しない立場のまとめ

数理科学のPhDのみ集めた
10
鴨浩靖

計算可能トポロジー

Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

三角比と三角関数の区別はどうでもいい。

2022-05-23 02:41:11
Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

等速円運動の射影としての一般角での三角関数を直角三角形の辺の長さの比としての鋭角での三角関数よりも先に理解した実例と思われる方をお見かけしました。twitter.com/cerclumina/sta…

2022-05-24 22:50:15
Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

三角関数と三角比の区別なんて、増加と合併の区別だとか量分数と割合分数の区別とかの同類にしかなりません。

2022-05-26 14:02:00

このあたりは「超算数」の問題として知られる.教育学の算数・数学教育の世界では,教育上の便宜のための仮の取り決めを数学的ルールと勘違いしたり,そうした謎ルールを大量に生み出すことで問題となっている.

Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

角度を使わずに三角関数を定義することも可能です。微分方程式 x″+x=0, x(0)=0, x′(0)=1 の解として sin t を定義することもできます。これは、単振動として正弦関数を定義する発想です。 twitter.com/kamo_hiroyasu/…

2022-05-26 19:25:12
Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

微分方程式による正弦関数の定義は中等教育での三角関数の導入で使うにはつらいですが、それは発想の自然さとは無関係です。

2022-05-26 19:25:13
久徳浩太郎

重力波天文学

Q @life_wont_wait

高校で三角比と三角関数とが別々に教えられてるのがなんでなのかはようわからん

2022-05-22 15:58:33
嘉田勝

集合論的トポロジー

嘉田 勝 @kadamasaru

「三角関数」というワードにむやみに執着するのは、揶揄にはなるけど、議論の本筋からは外れていると言わざるを得ない。 私たちの社会において、教養を学ぶ意義は何か という根本的な問いにまで遡る必要がある。

2022-05-20 08:14:07
嘉田 勝 @kadamasaru

三角関数おじさんをネタに盛り上がるのも一興だけど、三角比と三角関数の違い云々を突っつくのは揶揄としてもスジが悪いと思うぞ。 twitter.com/kadamasaru/sta…

2022-05-22 07:52:43
渡邉究

代数幾何

渡邉究/数学科准教授/YouTube @Kiwamu_Watanabe

小学生のとき、父が大きな木を指差し、「あの木の高さをどうやったら測れるか分かるか?」と問われ、私は見当もつかなかった。自分のいる地点から木までの距離を測り、分度器 で角度を測り、、、というのが私と三角関数との出会いだった。三角関数が話題なので思い出した。

2022-05-20 09:54:15
藤巻健太 衆議院議員 @Kenta_Fujimaki

世の中は分業し、お互いの知識を信用し合い、成り立っている。 木の高さを測る人、木を切る人、木の安全を管理する人、木の役割を研究する人、木から髪を作る人、その紙を流通させる人、販売する人、それぞれに専門知識がある。 三角関数はその専門知識の一つ。 全ての専門知識を学ぶ時間はない。 twitter.com/kenta_fujimaki…

2022-05-21 15:24:29
渡邉究/数学科准教授/YouTube @Kiwamu_Watanabe

三角関数だけでなく、数学を勉強する時間の一部を生活に役立つ勉強の時間に振り替えろということなんですかね? 大学から三角関数レベル(高2?)の勉強を始めるとなると、大学卒業時までに身に付く数学の知識は学科関係なく今の学部2、3年くらいになっちゃうのでは? twitter.com/Kenta_Fujimaki…

2022-05-21 16:23:56

「三角関数ではなく三角比」みたいな反応をしていないことに注目

はむかず

機械学習,代数幾何,計算幾何学

加藤公一, Като Кимикадзу(はむかず) @hamukazu

例の三角関数の話、それは三角関数じゃなくて三角比!みたいなツッコミが入ってるのを見たけど、僕も三角関数と三角比の違いよくわかってなかった。っていうかそこはどうでもよくない?

2022-05-22 10:08:48
加藤公一, Като Кимикадзу(はむかず) @hamukazu

一度身についてしまうと三角比と三角関数を区別して考えたりしないし、三角関数で躓いたっていう人はほぼ間違いなく三角比もできないのでは。

2022-05-22 10:12:05
Conclusion

数理科学者集団の中でも,三角比と三角関数という言葉を同じように使うことは必ずしも問題とされず,またそもそもそれらの区別が言語実践に組み込まれていない場合がある,ということが分かるかと思う.

ソリッドに区別する一貫した流儀もあるのだろうが,そうではない(それも数理科学業界ではかなり一般的な)流儀も存在するのであるから,「三角比と三角関数を交換可能な言葉として用いるのは絶対的な誤り」という主張が誤りであることで決着している.これ以上なにか言葉を付け加える必要はないと信ずる.

Disclosure

編纂者は「敢えて区別したいなら勝手にどうぞ」「そういう言葉遣いの流儀もあっていい」という立場です.重要なことは,これは言葉遣いの流儀の問題であって,数学の問題ではない,ということです.

例えば,数学では「指数関数」という言葉で「λxy.x^y や λx.c^x や exp だけでなく cos や sin をも含めたものを指す」と宣言しておけば,(マイナーだとか筋の悪い用語法だとかいう批判はありえても)間違いではない.

もっとも,個人の言葉遣いの流儀を他者に強制したり,その流儀に基づいて他の流儀に従う他者の言語使用を間違いと断定したり,ましてやそれをもとに無学と嘲笑することが,きわめて問題ある振る舞いであることは今更言うまでもないだろう.

行列計算を使って初歩的な統計処理を行うことを「線形代数の応用」と言ったひとがいたとして,それに「それは行列論だ」「(抽象線形空間を扱う)線形代数とは違う」などとツッコミを入れるのが的外れであるのと同様です.

数学で他人にマウントを取りたいなら言葉遊びではなく数学をしましょう(何であれ他人にマウントを取るべきでない)

Addendum

全く読めてないひとがいるので「勝手にどうぞ」の具体例を幾つか挙げておく.

sin, cos, tan を [0, π) に制限した関数の各々を三角比と呼び,sin, cos, tan を R 上で定義した関数の各々を三角関数と呼びたいなら勝手にどうぞ.その用語法を採用している文脈の中では「三角比と三角関数は異なる」は真な数学的言明である.

sin, cos, tan の応用のうち三角測量に関するトピックを「三角比」と呼び,そこから真に逸脱するトピックを「三角関数」と呼びたいなら勝手にどうぞ.その用語法を採用している文脈の中では「三角比と三角関数は異なる」は真な非-数学的言明である.

(tan だけ使った応用は「正接関数の応用であって三角関数の応用ではない」と言っているのと大差ないが.)

通常の sin, cos, tan やそれの自然な拡張や制限はなんであれ「三角関数」と呼ぶ.たとえば sin の定義域を [0, ∞) や [0, 2π) に制限したものも,R 上の sin を C 上に解析接続したものも,どれも「三角関数」と呼ぶし,何なら全て同じ記号「sin」で表す.さらにまた三角関数の理論一般(トピック)のことも「三角関数」と呼ぶ.三角関数という関数族やトピックの直角三角形の比という点を強調したいとき「三角比」と呼んだり,sin や cos の波形の関数モデルとしての性質を強調したいときに「正弦波」と呼んだりもする.そうしたいならご勝手に.いちいち明示することはないだろうが,実際にはこれが数学者に最もお馴染みの流儀だろう.この流儀では「三角比と三角関数は異なる」は偽な非-数学的言明である.単にアクセントが違うだけであって指示対象は同じであるから.

もちろん数理科学者のマジョリティの流儀に従う必要は(他の流儀に従う必要がないのと同様)ない.数理科学者とコミュニケーションを取る場合は従っておいたほうがスムースだろうが.教育学者や教員が三角比と三角関数を何らかの基準で区別する流儀を使っていても全く構わない.異なる流儀に従う者(とりわけ児童や生徒に)不利益を与えない限り.

追記:ここでいう「数学的」と「非-数学的」の区別は,数学内の主張であるか,数学外の主張であるか,というものである.「非-数学的」とは「数学外の話だ」という意味であって「数学に反する(数学的に間違いだ)」という意味ではない.

定義域云々

三角関数族のうち sin と cos は R 上で定義されたそれのみを表すという流儀を考えてみよう.(そして tan は R-cos^{-1}(0) で定義されているものだけを表すのだろう.)この流儀では C 上に解析接続された sin や cos は「三角関数」と呼ばないということになる.そのような流儀で書かれた複素解析の教科書を私は知らないが,もちろんそういう流儀を採用しても結構.

ところで sin と cos (であって定義域が R であるもの)は周期 2π の関数だった.このような関数は商 R/2πZ 上の関数を一意的に誘導する.この関数も「三角関数」と呼ぶことができない.数学業界ではこれも「三角関数」と呼ぶのが普通だが,もちろんそういう流儀を採用しても結構.(R→R と R/2πZ→R を完全に同じものと見做すという話ではなく,単に同じ言葉で呼び表すという話である.)

追記:シュワルツ超関数空間,コロンボ超関数環,ミクシンスキ演算子の体などに埋め込まれた三角関数たちは(単に三角関数の値を対応付ける関数という意味では)もはや関数でさえない.それぞれテスト空間上の連続線形作用素,関数族の同値類,畳み込み代数上の形式的な分数となるのだった.これらも「三角関数」と呼びたいことがある.これはもはや定義域云々ではどうにもならない.もちろんそのような「三角関数」をいちいち別の名前で呼ぶ流儀を採用するのも自由である.

追記:数学内部における写像の定義上,定義域が異なる写像は数学的なequalityの意味で異なる.これは数学内部において真な命題である.(集合論などのFoundation of Mathの上で)普通に定義された写像について語っている限り,定義域の異なる写像は数学的なequalityの意味で異なるということは,どの立場であっても真である.(写像の定義域の話とは違うが,同型な対象がequalityの意味でも等しくなってしまうような型理論的なFoMも存在する.この理論について語っている場合には,どの立場であっても,isoな対象はequalである,ということは真な数学的命題である.)このことと,定義域がどんなものであれ,あるいは(値の食い違いがあるような)一意的でない色々な拡張であれ,どれも「三角関数」と呼ぶこととは,何ら矛盾しない.とくに私が「数学者にお馴染みの流儀」としているものと矛盾しない.

たとえば sin(2x) と sin(x) は定義域以前に値が食い違うので,数学的なequalityの意味で異なる対象だが,どちらも「三角関数」と呼ぶだろう.sin|R は「R 上定義された三角関数」であり「sin|[0,2π)」は「[0, 2π) 上定義された三角関数」である.どれも「三角関数」である.それらを言葉遣いの上で区別しないという意味で区別しない(というのがお馴染みの流儀である).このことは「数学の外の言葉遣い」の話である.延々と数学内部のequalityについて語っているひとはポイントを外している.

定義域をsensitiveに区別しておかないと変なことになる場面は当然いくらでもある.たとえば「N で定義された定数関数」は原始再帰的関数だが,「Halt で定義された定数関数」は原始再帰的ではない再帰的部分関数である.そして「Halt^Halt で定義された定数関数」は再帰的ですらない.(ここで「定数関数」という言葉は「N に値を取る定数関数たちの総称」として用いられている.別の場面では複素数値の意味で用いたり,特定の定数関数の意味で用いたりもするだろう.)よって計算可能性理論の文脈では定義域にsensitiveにならないと間違えやすい.しかしこうした場面をいくらあげたところで,そのことは「お馴染みの流儀」の欠陥の指摘になってはいない.

追記:その前に「三角比を sin|[0,π) の意味で用いる用法」自体が共有された流儀でないことに気付くべきである.「三角比と三角関数は同じか否か」という問いを「定義域の異なる三角関数を同一視するか」という意味に解釈すること自体が言葉の使い方に依存しているのである.

所謂「文系」に対する謂れのない非難について

数理科学者でなくても問題の切り分けができる人ならあのようなポイントを外した批判はしない.分析哲学者はこのあたりの問題の切り分けが比較的得意なはずである.相手の主張をできるだけ簡単に論駁できる形に歪めて解釈し批判することを禁じるのが「principle of charity」という作法だった.日本では「チャリタブル・リーディング」と呼ばれることもある.

件の議員の発言は,三角測量を三角関数の応用と見做す(おそらく大抵の数理科学者が同意するところの)言葉の流儀のもとでは,正しく三角関数の応用について語っているのであって,「三角比と三角関数を混同している」は適切な批判ではない.

「そんな初歩的な応用しか思いつかないのか」という揶揄を込めたレトリックとして「三角関数ではなく三角比の応用だろう」と言ったのだとしよう.しかし,一般大衆に離散フーリエ変換に基づく非可逆圧縮の原理だとかデジタルカメラの美肌フィルターの原理だとかを説明したところで通じないから,最も初歩的な例を挙げただけかもしれないのだから,本当に初歩的な例しか思いつかなかったとは限らない.したがってこれも適切な批判ではない.

使用頻度について

「お母さん」と「母」は同じ意味だがニュアンスだけが違う.しかし公の場で多くの成年者は「母」を使う.

行列の「積」も「乗法」も「掛け算」も同じ意味だがニュアンスだけが違う.例えば「乗法」や「掛け算」という語には,その結果 AB というよりも,関数(演算子)自体 M_nm(R)×M_mk(R)→M_nk(R) や,その計算・方法というニュアンスがなくはないが,AB のことを A と B の乗法や掛け算と呼んでも別に差し支えはない.しかし大抵の数学書では「積」という用語が採用される.

ある複数の語をソリッドに区別しないことが一般的であることと,それらのうち特定の語のみが頻繁に使用される/されないこととは,完全に両立的である.

また見かけ上(文字列として)同一な語が複数の意味で使われることもある.上の例では「積(乗法・掛け算)」という語が,積関数の意味でも,積の結果の意味でも用いられている.(さらにまた行列環以外の代数系における積の意味でも用いられるだろう.)このケースでは指示対象が数学的対象だが,数学の単元を指示対象とすることもあるだろうし,その単元で扱われるトピックを大雑把に指示対象とすることもあるだろう.

・語の使用には複数の流儀がある
・見かけ上同一な語が複数の異なる使用を持つ場合がある

追記:日本語における「三角比」と「三角関数」という言葉の使用を調べるために,その英語での直訳の使用(しかも頻度)を調べるという手法をとっているひとがいるが,これは言語学の調査手法としてきわめて問題である.

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コメント

ニートその3 @apribi 2022年5月27日
一連の流れで言う三角関数ってのがそれなりに多くの人が共感できる社会に出てから使ってない数学のアイコン的な感じで三角比と誤認している事実自体が役に立ってない論の後押しになってるような感じなのかなと思った
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大時野終身名誉女児(2さい) @dosukoitarouEX 2022年5月27日
やはり三角関数と三角比に区別はないのか。 ふぅん。
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大時野終身名誉女児(2さい) @dosukoitarouEX 2022年5月27日
区別がある派と区別はない派、文系なら永遠に揉め続けるし相当不利に傾いてもゴネてれば誤魔化せるんだが理系の分野ではどちらかが必ずidiotなんだよな……。 理系は残酷だわ。
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TEST @toiec24 2022年5月27日
はっきりいって、どうでもいい。 発端の議員発言の意味を考えれば、三角関数に限定する話ではないのは誰でも分かる。 葉だけ見て森を見ない日本人の愚かな特徴。
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petton @n_petton 2022年5月27日
ここで言われてる"区別がない"って理屈は三角比も三角関数もそれぞれちゃんと勉強したやつにしか通用しないやつだろ…
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petton @n_petton 2022年5月27日
三角関数をなぜ"わざわざ"勉強しなきゃいけないかって、三角関数を理解するだけで時間変化する量の解析方の勉強過程で"わざわざ"学ばなきゃならないことが大幅に短縮されるからなんだよ。件の議員発言でもそうだが、三角関数全く使わない金融の勉強なんて学習コストものすごいことになるぞ。
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モンエナ常飲議員 @828S01 2022年5月27日
「学校で枠をはめて学習した定義が絶対だと思ってる」という意味で、今回の問題を「掛け算の順序と一緒」と評価していた人、本質をとらえていたんだな。
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mono @black_mono 2022年5月27日
dosukoitarouEX 「理系の分野ではどちらかが必ずidiot」そんなことないよ……別のまとめでも書いたけど有名どころでは0が自然数かだって場合によって変わってくるわけだし、「どっちも正しい」なんてことがいくらでもある。足し算だって定義が一つに定まらないはず。
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mono @black_mono 2022年5月27日
そもそもの話は数学じゃなくて学校教育の単元の話だし、三角比の定義すら曖昧な状況で議論すること自体がナンセンスだと思うけどね
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くらげ @kurage_st 2022年5月27日
三角比と三角関数を別物だと考える文系が無限に湧いてくるツイッターに絶望。 どうしても第一象限の範囲を三角比と呼び、それ以外の範囲を三角関数と呼びたいならご自由にどうぞって感じですが、「今は第一象限にいるから三角比を使います~、次は第一象限から外れたから今度は三角関数を使います~」みたいな非効率な学習コストをかけて理解しようとしているのは文系だけ。
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モンエナ常飲議員 @828S01 2022年5月27日
「実験の結果」「数学の定理」はくつがらなくとも、数式や化学式などは「事象に対しての記述」だからその記述のルールをつくるさいに考慮外のことがあれば覆るし、その「定理」を区分けして何と呼ぶか?は「名づけ」の問題だから絶対というわけではないんじゃないかな。
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モンエナ常飲議員 @828S01 2022年5月27日
気まぐれで哲学の本をよんでたら、数学や化学は「事象を数式等として記述することで普遍性(だれからみてもそれがそうであると認識できること)を得た」が、特に文系の分野ではそれが難しく「幾人もの哲学者が挑戦したがまだ普遍性を獲得できていない」とあった。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月27日
長々と議論したが、結局は区別の定義、即ち、何を以って等しいと数学的に定義するかの問題に過ぎない。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月27日
関数f(x)とg(x)があって、f(x)はxがAの領域で定義され、g(x)はxがBの領域で定義されているとすると。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月27日
(1) A=Bかつf(x)=g(x)がすべての定義域で等しい場合に限り二つの関数は同じである。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月27日
(2) AはBに含まれるが、「適切な方法」でf(x)の定義域をBに拡張でき、f(x)を拡張したf'(x)はB上でg(x)で一致するばあい、二つの関数は同じである
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月27日
(1)の立場なら三角関数と三角比は違うが、「適切な方法」を上手く定めた(2)の立場なら同じ。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月27日
数学では(1)の立場が使われるが、(2)も「適切な方法」をちゃんと定義できれば、立派な同値関係を作れる。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月27日
なお、AはBに含まれるが、「適切な方法」でf(x)の定義域をBに拡張したとき、f(x)を拡張したf'(x)がB\A上でg(x)と不一致となることはあるので、関数の中身と「適切な方法」の定義は大事。
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だっしゅ @mumerexe 2022年5月27日
発端から考えると、「三角比」「三角関数」はsin,cos,tanのような関数そのものを指しているわけではなく、数学の単元の名前を言っているだけの人が結構いたような気がする。「三角関数じゃなくて三角比」というのは「三角関数の単元で習う内容ではなく、三角比の単元で習う内容である」と。まあ、どちらにせよ指摘するべきはそこじゃないんですけどね。
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kawarani @kawarani 2022年5月27日
もし違いを気にするならば『「三角関数」と「三角比」の違い』と『「三角関数は例えば木の高さを測るのに使われる」と「三角比は例えば木の高さを測るのに使われる」の違い』の2つの『違い』の違いも気にした方がいいんでないの。前者は一般的な違いだけど後者は特定の用法に限定してのみの違いで、件の議員は後者の限定された用法でしか使ってない気がするが、そうじゃない発言とかもあったのだろうか。
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mtshinya @mtshinya 2022年5月27日
いわゆる高学歴の人が何人も「三角比と三角関数の区別つかないのか!」とやらかして訂正できないのって、 彼らの頭の中では数学的な意味合いよりも、未だにどの受験科目であるかの方が重要である価値観となっていて、 それがつい表に出てしまったことが後から凄く恥ずかしくなってるんだと思う
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
今回、大いに反省したことがある。 この手の議論は、しばしば前提の定義が不明確の結果、互いの採用する前提が異なり平行線となる。 議論の噛み合わなさにイライラして、相手の人格や態度、能力を勝手に決めつけ、根拠もなく貶めるようなことをいうという、非論理的な態度をとったことだ。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
定義が異なるので議論は平行線であるということを共通認識にして、そこから議論すべきだった。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
自分が正しく、相手がおかしいという思いは魅力的で、相手に対するいかなる誹謗も許容してしまうが、慎まないといけないと反省した。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
ちなみに、本名は名乗れないが、 博士(物理学) 量子可積分系、素粒子物理学、量子基礎論。 現在、研究は辞めている。 定義域の拡大がユニークでない系の研究などをしていた。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
JpnFlyingSquid の(1) A=Bかつf(x)=g(x)がすべての定義域で等しい場合に限り二つの関数は同じである。の立場である。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
定義域について書いてあるので、三角比と三角関数の定義について 僕の立場を書いておきたい。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
定義法によって定義域は定まると考えていて、三角比は図形的な三角形を用いた定義であるので、 その角度は0<=x<=π/2までだと考えている。図形的な範囲を超えない範疇での拡張をしても、せいぜい一般角までが限度と考えている。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
三角関数といった場合、指数関数の無限級数と関数方程式で決定されるもので、 Cを超えた世界までで定義される。例えば、物理学では、演算子の世界でexp(-i H t)みたいなのが定義できるが、したがって三角関数も定義できると考える。こういう拡張をすべて含めて三角関数といっていると解釈している。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
従って、(1)の立場で、この二つの定義域は明確に異なるので不一致というのが僕の立場である。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
(2)の立場についてコメントしておく。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
三角比を拡張すると、複素数までは解析接続+一致の定理で一致するが、それ以外ではこのスキームは機能しない。拡張の仕方を一考する必要がある。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
まず、三角比の満たす関数方程式から、テイラー展開で定義された指数関数を使って、三角比を定義するみたいなやり方があると思う。でも、これって三角関数の定義だから、それを三角比だというのに、僕は、困惑してしまう。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
指数関数の無限級数と関数方程式を使わない拡張の議論は知らないので、もしそういうのがあるなら僕の見解不足だと思う。例えば、複素数や演算子を三角比に持つ三角形が幾何的に定義されるとか。だれかやっているかもしれない。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
いずれにせよ、そのような拡張があるので、(2)の立場で等しいという立場はあると考えているが 困惑するような拡張しか知らないので、違和感を感じるということになる。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
まとめ主の定義域云々については、その通りだが僕には当たらないと考えている。 僕が三角関数といっているものとまとめ主が三角関数といっているものの領域は一致している。 三角比の定義域がことなるという認識だ。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
さて、僕の研究生活の話で恐縮なのだが、僕はその研究生活で三角比という言葉を使ったことがない。論文で書いたこともないし、発表で口にしたことも聞いたこともない。自分のいた数理物理の世界では、コミュニケーション上、三角比という術語が指し示すものと三角関数という術語が指し示すものは明らかに違っていたと思う。数理物理学の専門家の間の実情として、参考になればと思う。
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ももんが @fb3qzI3Op5w7ukc 2022年5月28日
「相似」→拡大縮小しても図内部の割合は変わらない→どうせならすべての角度の割合求めたい(もうひとつの角度は90°にしとこ)→すべてでなくても代表的な角例えば「正」三角形や「正」方形を半分にした直角三角形は辺の比が既に分かってるから自力で求められる→単位円で矛盾無く拡張(直角の対辺を分母にした割合で単位円は半径が1なので分母も1だから自ずと分子そのものの値sinならy成分(θの対辺)にcosならx成分(90°-θの対辺)になる)→すべての円は相似だから単位円内部で成り立つことは応用できる
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
JpnFlyingSquid 補足しておくと、例えば、数理物理学の専門家同士で話し合っているとして、「現在考えている空間の三角比は…」みたいなことを言った時、「その三角比の定義は何ですか、三角関数ではないのですか」と聞くと思う。その時に帰ってくる答えとして、「三角関数と同じ定義」ではなく「いい質問ですね 」と一言おいて「三角関数とは違う定義で云々」が返ってくることを期待するんじゃないかなと思う。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
専門家が非専門家と話をする時、専門家が空気を読めるなら、三角関数のことだなと斟酌してくれる。読まないなら質問する。恐らくそういう空気感じゃないのかなと……
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
JpnFlyingSquid 僕が現役の時は、そういう面白いイベントに立ち会ったりしなかったということですわ。
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市境前12アール@小説家になろう @cityborderfront 2022年5月28日
一連の三角関数/三角比の話がどう決着するのか、興味があって追っているのですが。現状、主題(社会的/一般教育的な観点による三角関数/三角比の区別/同一視の意義)に対して理解が深まるとは思えないような数学的見解の披露や、数学や言葉の定義に固執する意見が、度を超えて悪目立ちしている、そう思えます。
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市境前12アール@小説家になろう @cityborderfront 2022年5月28日
ここで掲げられた主題を語るのに、数学的に高度な話が必要だとは思えません。また、広く主題を共有するために広く伝わる言葉で主張をする、そんな配慮が必要な場所だと思います。 配慮を欠いた発言で多様な意見が隠れ、理解が深まることなく終わってしまうのなら、それは残念な結果のように思えます、まる。
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紅芋タートル @benimoturtle 2022年5月28日
結果として区別がないのと全く区別できないのは別物じゃ?
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
改めて内容を読み返してみると、Conclusionの『数理科学者集団の中でも,三角比と三角関数という言葉を同じように使うことは必ずしも問題とされず,またそもそもそれらの区別が言語実践に組み込まれていない場合がある,ということが分かるかと思う』は補足が必要だと思った。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
すでにarxiv(専門家が使う論文投稿サイト)の検索結果JpnFlyingSquid JpnFlyingSquid (三角関数 = 357 vs三角比 = 1)や、自分の体験を書いているが、専門家のテクニカルタームとして、三角比はほぼ使われない。専門家が非専門家に説明する際にという但し書きが必要だと思う。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
Conclusionの後半も『ソリッドに区別する一貫した流儀もあるのだろうが,そうではない(それも数理科学業界ではかなり一般的な)流儀も存在するのであるから,「三角比と三角関数を交換可能な言葉として用いるのは絶対的な誤り」という主張が誤りであることで決着している.』とは言えないと思う。特に、『(それも数理科学業界ではかなり一般的な)流儀も存在する』はまずく、『(業界人が非専門家に説明する時には一般的な)流儀』となると思う。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
冒頭に「数理科学のPhDのみ集めた」とあるが、その意見は専門家同士の言葉ではなく、専門家-非専門家という位相(言語学)でとらえるべきだと思う。このまとめの価値は、その領域では『三角比と三角関数を必ずしも区別しない立場』があるという例を示したということになると思う。
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STRV @stoneriver0210 2022年5月28日
三角関数は三角比の集合,拡張だし逆に区別する立場があるのか?
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月28日
cityborderfront たぶん、あなたが主題としていることは、数学的な話よりもはるかに難しいことだから、より簡単な話が沢山なされているんだと思いますよ。
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紅芋タートル @benimoturtle 2022年5月28日
y=1/xとy=x^2はどちらも二次曲線だから区別する必要がない、みたいな主張にしか見えないんだよな、三角比/三角関数の区別しないでいいっての。あくまで三角比の一般化が三角関数であって、一般化したものがあればその前は要らないってのは成り立たないはず
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
僕は、自分の以下の立場は宗教的であると認識しているが、数学において、この尺度が必須であり得る例を示しておくべきかもしれない。これは衒学的な定義ではないのである。(1) A=Bかつf(x)=g(x)がすべての定義域で等しい場合に限り二つの関数は同じである。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
分野は関数解析で作用素の自己共訳拡大の話だ。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
よく、例として使われるのは、半直線上の二階線形微分作用素で、物理学ならば、自由粒子のハミルトン演算子と同定されるものだ。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
例で挙げたような作用素は、固有値に上限がない、つまり、非有界作用素であるので、ヒルベルト空間全域で定義できない。また、定義域の選び方によって、自己共役性を失うことが知られている。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
自己共役性を失うことなく、定義域を定める方法として、より小さな、ただし、ヒルベルト空間上稠密な空間で定義された演算子をまず考え、自己共役性を持つよう拡大するということをする。これを自己共役拡大という。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
自己共役拡大の結果、拡大された演算子は一意に決まらない。ユニタリ行列に相当するパラメータで特徴づけられることが知られている。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
先程の例、半直線上の微分作用素ないし自由粒子なら、u(1)の自由度があることがわかっている。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
さて、この場合、拡張前の作用素と、拡張後の作用素は等しいとはできない。拡張後の演算子が皆等しくなってしまうからだ。a=bかつb=cならa=cというやつのせいである。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
拡張後の作用素が同じような性質を示すなら全部等しいで良いが、例えば、スペクトラムという、作用素の重大な性質が変わるような、全く別物になるので、採用されない。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
このように、定義域が包含関係にあって、共通部分で一致していても、同一視しない数学分野もあるのである(作用素環周辺かなぁ。そんなにマニアックな話ではないし、100年近く経っている話だと思う)
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
まとめると、数学の分野では、定義域に敏感な分野があって、その立場をならうなら、三角比と三角関数が別物というのは誤りでも非数学でもなく、一つの数学的見解に基づく見解だと思う。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
これは、同一視するという立場が非数学というわけではないし、否定するつもりもない。そちらはそちらで、一緒と見る抽象化が機能する数学分野もあるということだと思う。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
だとするなら、あとは宗教の問題でしかない。数学や専門性はこの話とは独立だと思う。そもそも、この手のことに、数学が語りかけてくることは滅多にないと僕は信じる。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
だからみんな、三角比と三角関数は違うといってよいよ。ただ、同じという人をバカにしてはダメだよ。もし、同じだといってバカにするような人には、僕の話を伝えるとわかってくれるかもしれないね、が伝えたいことになる。
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mtshinya @mtshinya 2022年5月29日
「菅総理の英語ツイートが間違ってる!」と英語講師が騒いで、それに乗っかる自称英語上級者が大量発生したが、 結局ネイティブが読んでも全く問題ない英文だと分かって赤っ恥だった件に似ている
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@gokushou_c 2022年5月29日
mtshinya ツイート単体で見ればそうなるかもしれませんね。批判が的外れであったことを以って議員の一連の発信が正当化されることは一切ないのですが。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
演算子の拡張の話はしたが、数学的に、三角関数の拡張が一意ではない例はあり得るのか?すぐに例は思いつかないが、方向性は思いつく。三角関数の定義に無限級数和を使うが、この収束は位相がからむ。 二種類の全く異なる位相が入る空間を探せば見つかるかもしれない。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
本題とは関係ないかもしれないが、専門家は三角関数と三角比を区別するかで、僕はまとめ主と見解を異にする。僕の見解はこんな感じ。JpnFlyingSquid JpnFlyingSquid JpnFlyingSquid JpnFlyingSquid JpnFlyingSquid
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
僕の議論はこの話を使わないので、本論的にはどうでも良いのだが、テクニカルタームの実態みたいな話になるとミスリーディングかなと思うので、サンプル数1を提供したという認識である。
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するめいか @JpnFlyingSquid 2022年5月29日
まあ、そういうのも合わせて、まとめ主が上手く捌いて、結論である、「三角比と三角関数を必ずしも区別しない」につなげてくれるだろうと期待している。その結論は、僕の結論に矛盾しないので、陰ながら応援している。
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kawarani @kawarani 2022年6月7日
一般の科学者が「三角関数は例えば木の高さを測るのに使われる。」と言ってもその発言自体をdisる人は現れなかったろうなとは思う。まぁその後に「1人が木の高さを測ればいい。残りの99人は、木の高ささえ知っていればいい。」って続けてたら同じように滅茶苦茶批判されてたとは思う。最初からそういう話なんだろうな。
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