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Tomoki UDA @t_uda
命題論理のコンパクト性定理辺り読んでる。Zorn の補題まじ補題。 #数学基礎論 #math_ja
Tomoki UDA @t_uda
Henkin 拡張、Henkin 定数。「M を M' の L への縮小(reduct)といい,逆に M' を M の L への拡張(expansion)という.」 reduction じゃないの……??? #数学基礎論 #math_ja
Tomoki UDA @t_uda
「(前略) c_{∃xφ(x)} にMの元をどれでもいいから対応させる.こうして C_{n+1} \ C_{n} の元 c_{∃xφ(x)} の元を対応させて(中略)拡張 M_{n+1} ができた. 」 可算回"選択"したのですか!? #数学基礎論 #math_ja
Tomoki UDA @t_uda
増大列 C_{n}⊂C_{n+1} があって、各 c ∈ C_{n+1} - C_{n} 毎に"適当に M の元を取って"対応させることで M_{n} の拡張 M_{n+1} を作っていく。これを各 n∈N で行う。……これって"選択公理"使ってますか?? #math_ja
Tomoki UDA @t_uda
@evinlatie あ、はいそうです。今手元に本がないので詳細をよく思い出せないですがそこがちょっと引っかかって。
エヴィン・ラティエ @evinlatie
@t_uda 前の投稿( http://t.co/KaCzJaLE )から察するに「数学基礎論」の補題1.4.11「…Cに属するヘンキン定数たちに適当にMの元を対応させると…MのL(C)への拡張M'が得られる」の証明を読んでての疑問ということですね。(続く)
エヴィン・ラティエ @evinlatie
@t_uda この補題の証明は帰納的に(整列順序が与えれれているとは限らない)Mの元を可算個取ってきているので選択公理を使ってますね。 ※注意:ZF上でヘンキン定数を持ってきて言語を拡大するのには選択公理は必要ないです。
Tomoki UDA @t_uda
@evinlatie ありがとうございます。こういう風に帰納的に無限個の元を取ってくる証明では、いちいち「選択公理により」などとは書かない方が普通なのでしょうか。
Tomoki UDA @t_uda
やはりさっきのは選択公理を(暗黙に)使っているという理解で良かったようだ。
エヴィン・ラティエ @evinlatie
言語のヘンキン拡大自体は選択公理は不要です。拡大するときのヘンキン定数c_iはもとの言語L_iの要素とかぶらないように取れればどんなものでもいいので、極端な例としてはc_i := L_iとおけばいいです(定数記号の定義似制限がなければ任意の集合を記号と思っていいので)。
エヴィン・ラティエ @evinlatie
ちょっと誤解を招きそうな言い方したかも・・・文字制限はつらいねw
エヴィン・ラティエ @evinlatie
@t_uda 選択公理との同値性や選択公理を制限した議論を行うときには使用をを明示しますけど、それ以外の場合は数学基礎論でも明示しないで使う場合が多いですね。
エヴィン・ラティエ @evinlatie
言語の定義する記号は一般の集合でコーディングされているとしてみているからね・・・可算言語の場合は自然数のみでコードするとしたほうが使いやすい場合が多いですけどね・・・
Tomoki UDA @t_uda
@evinlatie なるほど。確かにこの証明では選択公理を使っていることは本質的でないから、そこまで厳密に言及する必要がないですね。
エヴィン・ラティエ @evinlatie
あくまでもZF上で考えてるときですけどね・・・
エヴィン・ラティエ @evinlatie
(まあ、可算言語でのコンパクト性は選択公理なしで証明できますけどね・・・)

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