2022年7月2日

オイラーの公式をエレン先生が教えるよ

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uroak_miku @Uroak_Miku

linky-juku.com/liberal-arts-1/ 自然対数の底をどう簡明に講義するかここ数日思案中。これは割とよく書けているけれど、筆者さんも認めるように e そのものをうまく言語化できないでいる。

2022-07-02 20:26:06
uroak_miku @Uroak_Miku

回転軸を思い浮かべると多少イメージがつかめるかもしれない。何かエンジンがあって、アクセルを踏むほどエンジンの回転軸は回転速度を増すけれど、車の速度はずっと同じで、馬力出力が上がっていく、そういう車のエンジンの、回転軸。e はこの軸に当たり、e^x は回転中の軸に当たる。 pic.twitter.com/lQsudr7VYV

2022-07-02 20:35:24
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uroak_miku @Uroak_Miku

e^x は何度微分しても同じ姿になる。そうなるのが e であると定義されている。cosx も sinx も微分が果てしなくできる。この「果てしなく」を「同じところを延々と回り続ける」と読み替えれば、そこには円のイメージが浮かび上がってくる。 pic.twitter.com/w5pSqzBSO1

2022-07-02 20:49:39
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uroak_miku @Uroak_Miku

こうやって想像を広げていくと、e と三角関数が円を介して何か血縁あるのではないかなーという気になってくる。 結論をいえばそう。 円を司るのは π 。すなわち e と sin cos と π には同じ血が流れている。

2022-07-02 20:52:34
uroak_miku @Uroak_Miku

血縁関係は、こんな風。家族構成図のイメージで見るのも面白いかも。 pic.twitter.com/xVjitUeWHI

2022-07-02 20:57:24
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uroak_miku @Uroak_Miku

i(虚数単位)がそっと顔を見せる。ということは虚数もまた円、というか円回転を胎内に宿していると想像が付く。

2022-07-02 21:10:57
uroak_miku @Uroak_Miku

先ほど e^x を取り上げましたが、それに虚数単位を混ぜ込んだ e^ix は無限小のなかに円回転を宿しています。

2022-07-02 21:26:50
uroak_miku @Uroak_Miku

それは e^x についても同様なのですが、e^ix の無限小回転は、いわゆる複素平面上で生じる。これは言い方を変えれば e^x に i を混ぜると複素平面なるパラレルワールドが見えてくるということです。

2022-07-02 21:29:26

コメント

RGB000 @19666_61 2022年7月4日
高校数学だとeの定義は例の式の極限値だけど、eの定義ってそう言っちゃっていいんだっけというわりと細かいところで引っかかった(多分どっちを定義にしても問題ないんだろうけどね)
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