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位相空間全体は集合を為すか

「位相空間全体」は本当に「集合」なのか? 位相空間の同相類全体を考えると、これは集合でないことが分かります。 他にも、色々な同相類についての同様な考察や、そこから派生した 集合のランクについての話題などもまとめました。 続きを読む
数学講義 数学 math
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位相空間全体は集合??
@rumi_stardust
そゆえば「位相空間全体」って何で集合じゃないの?と前から思ってたらある講義で集合だとか言い出してよくわからんないことになったな、水曜日。けど今晩になってよく考えたらあれか、パラドックス起きるな。ラッセルさんだっけ…。パラドックスを許容する優しいすうがくせかいならもっといいのに。
ジョージ @Kiriyama_George
位相空間の同相類全体は集合になるのかな?
Tomoki UDA @t_uda
位相空間全体は集合にならない気が…… っていうか私もこの前似たような疑問を持った記憶があるぞ。なんだっけ。思い出そう。
Tomoki UDA @t_uda
この辺。 http://t.co/49G0ohMt ホモトピー同値で位相空間を分類しようとかそういう話だけど。
dif_engine @dif_engine
@t_uda 如何なる集合にも離散位相と自明位相が入るので   位相空間全体 ⊃ 集合全体 と、ラフな言い方ですができますね。集合全体は「集合になるには大きすぎる」から位相空間全体も集合にはならない、と考えたら良いのではないでしょうか。
Tomoki UDA @t_uda
@dif_engine あ、いえそれは分かってます。その上で、位相空間全体を同値関係で割るというのがどういうことかというのがよく分からないのです (cf. じょーじさんのついーと)。クラスに対しても集合と同様「割る」というのを定義できるのでしょうか。
dif_engine @dif_engine
(集合になるか、より「何故それが気になるか」に興味あるなぁ)
Tomoki UDA @t_uda
@dif_engine 集合じゃなかったら困りませんか??ラッセルのパラドックスみたいな不都合が起きそうで怖い、というか。19 世紀ならともかく、というか。
dif_engine @dif_engine
@t_uda 圏論では普通に Top や Set などを扱いますがかなり多くの数学者が特に困っていないですね… 要するに Set の「冪集合」 P(Set) などを欲しがる状況がないので。
dif_engine @dif_engine
(ない、と言い切るのもヘンかな。ただ、Set圏の対象にインデックスをつけて並べたりすることなく議論が出来てしまうので…)
Tomoki UDA @t_uda
これ、「(同値関係で割るのに)集合じゃなかったら(略)」のつもりでしたすいません。ちょっと文脈を省略し過ぎました。 QT @t_uda :@dif_engine 集合じゃなかったら困りませんか??
dif_engine @dif_engine
@t_uda 商集合,つまり「同値類全体」を集合として構成したいなら困りますが普通の数学で大きな圏を扱っているときに圏の対象同士の同値関係による同値類全体を集合で添え字付けるなどの必要性を感じることはあまりないので… 
Tomoki UDA @t_uda
@dif_engine それも気になってたのですが、圏論だと「対象同士の同値関係による同値類」というのはどう定義するのでしょう?対象全体を添え字付ける必要性を感じないというのは分かります。
dif_engine @dif_engine
@t_uda 圏を扱っていて、「対象同士の同値関係による同値類」を必要とすると感じたらスジの悪い議論をしている兆候ではないかと言うのが私の意見なのですが、壁際に追い詰められたら「部分圏」として定式化します。
Tomoki UDA @t_uda
@dif_engine なるほど…。確かに圏論だとそういうものを必要とする議論はしなさそうですね。
同相類全体は集合??
ジョージ @Kiriyama_George
各順序数に互いに同相でない位相構造を入れれば…
Tomoki UDA @t_uda
ω と ω+1 に違う位相入れるのすらどうすればいいか分からない……。順序位相?みたいなのじゃダメですか。 QT @Kiriyama_George 各順序数に互いに同相でない位相構造を入れれば…
ジョージ @Kiriyama_George
@t_uda 順序位相を入れれば、ωは孤立点のみから成り、ω+1においてはωは孤立点ではないですね。一般の順序数が順序位相の同相類だけで区別できるかは僕も自身がありませんが。
Tomoki UDA @t_uda
直観的にパッと順序位相でどうや!?って思ったのは、順序位相から元の順序を復元できそうだって思ったからなんですけど、順序数も位相もどれも実は詳しくない所為でそっからどーしよーかという感じでよく分からなくなりました。
ジョージ @Kiriyama_George
コンパクトHausdorff空間の同相類全体は集合だろうか?
4/8スッスッス放送開始4/13スッスッス第III章 @alg_d
なんちゃら空間全体とかって真のクラスにしかならないイメージあるんだけど。
ジョージ @Kiriyama_George
コンパクト距離空間の等長類全体なら集合になるんだけどね 任意のコンパクト距離空間はC[0,1]([0,1]上の連続関数全体のなすBanach空間)に等長的に埋め込めるから
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コメント

エヴィン・ラティエ @evinlatie 2011年9月23日
僕と殿下( @tenapi )のツイート関連を追加しました。
Tomoki UDA @t_uda 2011年9月23日
少しずつ追加... [位相空間全体は集合を為すか]
Tomoki UDA @t_uda 2011年9月23日
追加と、会話が見やすいように並べ替えて整理。 [位相空間全体は集合を為すか]
Tomoki UDA @t_uda 2011年9月23日
参考書の話とか追加 [位相空間全体は集合を為すか]
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