量子力学をヒルベルト空間が呑み込んでいく

uroak_miku @Uroak_Miku

斜線をどう説明してあげたらいいのか。ヒルベルト空間におけるなんちゃってベクトル、なんてのではよろしくないし。

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ocw.kyoto-u.ac.jp/wp-content/upl… おおこれはわかりやすいぞあとでよもう

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ああこれですねシュレディンガーが水素原子の電子殻を波動関数を使ってスマートに導出してみせてアインシュタインらから喝さいされた1926年論文。ドイツ語原文。最初の段落で「整数をいっさい使わずに導出するから見てて」とさっと本題に入るの。onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.10…

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「思索がないと何も学べない頭に私が生まれたのは、日本の学校教育システムにおいて大いに不利であったと今となっては言わざるをえない」

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ヨルダン＝クライン方程式では確率密度が負になってしまいます。これを行列を使って巧く処理したのがディラック方程式。

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物理学の著名方程式についてウィキを追っていくと必ずどこかで説明がループしだすのは面白いですね。「A方程式はB方程式から導出される」とあってBの項目を読むと「Aから導出される」みたいなループ。科学は時の矢に従って進歩したのではなく、前後していることを理解しないとこの罠から抜け出せない！

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量子力学の本をいろいろ再読中。やはりどれも説明が途中でループする印象。何より置いてきぼり感が鼻につく。昨夜読んだのはこれ。著者がどういう意図と構成案で書き上げたのか推察できれば読み通せるしそうでないとまず理解不能。とりわけ第３章の飛ばしぶりはひとを選ぶ。 amazon.co.jp/dp/4759818308

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[続き] シュレディンガー方程式じたいは1926年提唱ですが、方程式導出にあたって本書で使われる数学は半世紀後に整理されたものです。著者はいちおうそれ断り書きしてますが読む側にすればわかんないよね。ヒルベルト空間論をすでに学んだ人なら想像で補いながら読み切れるとしても。

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「不確定性原理」から説き起こすか「重ね合わせの原理」から説き起こすかで量子力学の数学的体系は変わってきます。前者を原理にするとヒルベルト空間論なんておっかないものまでいくし、後者であればブラケット積分で収まる。

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@LineTodo 怒るという話は存じませんがハイゼンベルクはディラック量子条件の論文を目にして「これってつまり運動量と位置は同時に特定できないってことやん！」と閃いて提唱したのが不確定性原理で、一方ディラックそのひとは無関心でした。彼は簡明な数式こそ命で、哲学的解釈には興味を持ちませんでした。

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ヒルベルト空間については「複素平面は縦軸と横軸の二つしか使えないので、超次元的空間に数学テクを使って拡張した空間」「内積からベクトルから距離から幾何図形から複素平面までみんな呑み込んでみせる、ゴージャスな数学空間」と語ればだいたい当たっているし直観的に伝わる気がする。

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1926年、水素の電子軌道の算出にあたって行列でゴリゴリ解く派と、微分でスマートに解く派に分かれた。それをある数学者が「両方呑み込むファビュラスな数学空間を用意してやったからお前ら喧嘩すな」と切り出した。それがヒルベルト空間。

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この空間たしかになんでも呑み込んでみせるゴージャス、しかし物理の人たちにすれば入れ物が大きすぎて、どの階のどこに何のコーナーがあるのか覚えるだけでもしんどい。そこでもっとコンビニ的なものが工夫された。それが「重ね合わせの原理」とブラケット計量。

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こんな風に説明すれば、面倒な議論は後に回してシュレディンガー方程式を支える数学的理屈はあらまし語れる気がする。

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ところでシュより５年も早く同じ方程式を導出していたひとがいるとかなんとか…こんなの。researchgate.net/publication/26…

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match.pmf.kg.ac.rs/electronic_ver… 裏が取れていないぞ。シカゴ大のアーサー・ランという学者が独力で1921年にシュ方程式まで導出していてその論文を私は目にした記憶があるぞだって。

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自転車をこぎながらエントロピーについて考察。気体分子運動論はどこに分子があるのか、どのくらいの運動量で飛んでいるのか統計確率的に考えるわけで、確率が絡むからには e が必ずどこかに潜んでいるわけです。e は π とは性別違いの一卵性（！）双生児。確率に π つまり円が絡む理由は以下の通り。 pic.twitter.com/6b7HBdgLaP

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就眠前にヒルベルト空間論の本を二冊再読。著者は同じ方。どちらの本もお気に入りで、読むたびに新しい発見がある。 それにしてもいくら先行研究が揃っていたとはいえ、ハイゼンベルクの講演ひとつからこんな数学体系をこしらえたものだわフォン・ノイマン。