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収束列が取れるか。単射と全射から全単射が作れるか。

問題: 次の命題と選択公理との関係は? 【1】T: 距離空間とする.S⊂Tに対し次は同値.   (1)a∈(Sの閉包)   (2)Sのある点列 {z_n} が存在して lim z_n = a 続きを読む
数学 選択公理 数学基礎論 濃度 数学講義
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TeXTeX @ippesilon
Φ≠Xを距離空間、x∈Xを固定し、A=X-{x}はXで稠密とする。①xに収束するAの点列が存在する②xとの距離が真に小さくなり続けるAの点列が存在する。①は加算選択公理②は従属選択公理が必要だと思うのだが、えらい人教えて!
TeXTeX @ippesilon
任意の正の自然数nに対し、xとの距離が1/n以下となるAの点が取れるのは稠密だからよいのですが、それを列にした段階で可算選択公理を使っているような気がしてます
alg_d @alg_d
選択公理が居るかどうかは分からんなあ。Dedekind有限な集合⊂Rを上手く取れば示せそうな気がする。(無責任)
Tomoki UDA @t_uda
これによると、「選択公理と数学」(ISBN4-7952-6890-8)に「AC ⇒ 閉包の点列極限による定義の同値性」らしいから、選択公理は必要ということでいいらしい。 [選択公理、Zornの補題] http://t.co/v5cdUYZK #math_ja
Tomoki UDA @t_uda
いや AC 使って示せるだけで必要とは限らないのか?どっちだろう。でもこればっかりは普通に必要そうだなぁ。
Tomoki UDA @t_uda
『選択公理と数学』は @alg_d さん持ってないのかしら。
ぬいぐるむ@押されふじおか @wllmx
@t_uda 5冊くらい持ってらっしゃるんじゃないでしょうか(適当
alg_d @alg_d
T: 距離空間とする.S⊂Tに対し次は同値. (1)a∈(Sの閉包) (2)∃{z_n}[ z_n∈S, lim z_n = a ]  ※a∈(Sの閉包)⇔ ∀U∋a: 開近傍に対し U∩S≠ ∅
alg_d @alg_d
この命題で(1)⇒(2)に選択公理がいることの証明が『選択公理と数学【増訂版】』に書いてある。
alg_d @alg_d
Dedekind有限集合を使うという方針は合っていたようだ。
Tomoki UDA @t_uda
デデキント有限集合って知らないんだけど…
alg_d @alg_d
@t_uda 集合XがDedekind無限 ⇔ ∃A⊂X: 真部分集合, |X| = |A|  XがDedekind有限⇔XがDedekind無限でない  が定義です。ACの下では有限集合=Dedekind有限集合,無限集合=Dedekind無限集合になります。
alg_d @alg_d
XがDedekind無限⇔∃単射N→X らしいので、無限かつDedekind有限な空間を上手く持ってくれば、さっきの条件を満たす点列があると単射が作れて矛盾する。みたいな感じ?
alg_d @alg_d
要するにACがないと濃度は大変なことになるということ。
@tenapi
実数の加法群の剰余群を作ったら濃度が上がった ( |R/Q|>|R| ) なんてのも ZF+DC となら矛盾しない。 RT @alg_d: 要するにACがないと濃度は大変なことになるということ。
alg_d @alg_d
…何…だと…? QT @tenapi: 実数の加法群の剰余群を作ったら濃度が上がった ( |R/Q|>|R| ) なんてのも ZF+DC となら矛盾しない。 RT @alg_d: 要するにACがないと濃度は大変なことになるということ。
@tenapi
つまり、 R から R/Q への単射は従属選択公理くらいで作れるけど、 R/Q から R への単射はルベーグ不可測函数とかベールの性質の意味で不可測な函数を生むので、従属選択公理では存在を示せない。
alg_d @alg_d
濃度怖いってレベルじゃねーぞ!!
@tenapi
そうなると、はっきりいって、カントール流の濃度概念で集合を測れない。 RT @alg_d: 濃度怖いってレベルじゃねーぞ!!
@tenapi
ミチエルスキの1964年の論文によると、フォンノイマンの1928年の論文で、正の実数をある代数的独立な集合の上に一対一順序保存でうつす函数が具体的に与えられているそうで、とすると、単射 R → R/Q の存在には選択公理は不要。
@tenapi
標準全射 R → R/Q と単射 R/Q → [0, 1] を合成すると有界で周期的な実函数が得られる。それが可測函数と仮定し周期1の函数としてフーリエ級数展開すると、すべての周期成分が消えて「ほとんどいたるところ定数函数」となり、同じ値を高々可算回しかとらないことに矛盾。
@tenapi
したがって単射 R/Q → R の存在からルベーグ不可測函数の存在が導かれる。ルベーグ不可測函数の存在は ZF+DC で証明できないので、ZF+DC では単射 R/Q → R の存在は導かれない。 (Ref: http://t.co/l7IvtWd7)
@tenapi
さっきのフォンノイマンの話、x > 0 のとき 2^( 2^( [nx] ) - 2^(x^2) ) の n = 1, 2,… にわたる総和を f(x) とすると f: (0,+∞) → R は単射で、集合 { f(x) : 0 < x < ∞ } が代数的独立なのだとか。
@tenapi
どうやって思い付いたのやら。さすがフォンノイマン。
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