収束列が取れるか。単射と全射から全単射が作れるか。

TeXTeX @ippesilon

Φ≠Ｘを距離空間、x∈Ｘを固定し、Ａ=Ｘ-{x}はＸで稠密とする。①xに収束するＡの点列が存在する②xとの距離が真に小さくなり続けるＡの点列が存在する。①は加算選択公理②は従属選択公理が必要だと思うのだが、えらい人教えて！

TeXTeX @ippesilon

任意の正の自然数ｎに対し、xとの距離が1/n以下となるAの点が取れるのは稠密だからよいのですが、それを列にした段階で可算選択公理を使っているような気がしてます

V-alg-d（ZZ） @alg_d

選択公理が居るかどうかは分からんなあ。Dedekind有限な集合⊂Ｒを上手く取れば示せそうな気がする。(無責任)

Tomoki UDA @t_uda

これによると、「選択公理と数学」（ISBN4-7952-6890-8）に「AC ⇒ 閉包の点列極限による定義の同値性」らしいから、選択公理は必要ということでいいらしい。 [選択公理、Zornの補題] http://t.co/v5cdUYZK #math_ja

Tomoki UDA @t_uda

いや AC 使って示せるだけで必要とは限らないのか？どっちだろう。でもこればっかりは普通に必要そうだなぁ。

Tomoki UDA @t_uda

『選択公理と数学』は @alg_d さん持ってないのかしら。

ぬいぐるむ@押されふじおか @wllmx

@t_uda 5冊くらい持ってらっしゃるんじゃないでしょうか（適当

V-alg-d（ZZ） @alg_d

なるほど。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

T: 距離空間とする．S⊂Tに対し次は同値．　(1)a∈(Sの閉包)　(2)∃{z_n}[ z_n∈S, lim z_n = a ]　　※a∈(Sの閉包)⇔ ∀U∋a: 開近傍に対し U∩S≠ ∅

V-alg-d（ZZ） @alg_d

この命題で(1)⇒(2)に選択公理がいることの証明が『選択公理と数学【増訂版】』に書いてある。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Dedekind有限集合を使うという方針は合っていたようだ。

Tomoki UDA @t_uda

デデキント有限集合って知らないんだけど…

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@t_uda 集合XがDedekind無限 ⇔ ∃A⊂X: 真部分集合, |X| = |A|　　XがDedekind有限⇔XがDedekind無限でない　　が定義です。ACの下では有限集合=Dedekind有限集合，無限集合=Dedekind無限集合になります。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

XがDedekind無限⇔∃単射N→X　らしいので、無限かつDedekind有限な空間を上手く持ってくれば、さっきの条件を満たす点列があると単射が作れて矛盾する。みたいな感じ?

V-alg-d（ZZ） @alg_d

要するにACがないと濃度は大変なことになるということ。

@tenapi

実数の加法群の剰余群を作ったら濃度が上がった ( |R/Q|>|R| ) なんてのも ZF+DC となら矛盾しない。 RT @alg_d: 要するにACがないと濃度は大変なことになるということ。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

…何…だと…？ QT @tenapi: 実数の加法群の剰余群を作ったら濃度が上がった ( |R/Q|>|R| ) なんてのも ZF+DC となら矛盾しない。 RT @alg_d: 要するにACがないと濃度は大変なことになるということ。

@tenapi

つまり、 R から R/Q への単射は従属選択公理くらいで作れるけど、 R/Q から R への単射はルベーグ不可測函数とかベールの性質の意味で不可測な函数を生むので、従属選択公理では存在を示せない。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

濃度怖いってレベルじゃねーぞ!!

@tenapi

そうなると、はっきりいって、カントール流の濃度概念で集合を測れない。 RT @alg_d: 濃度怖いってレベルじゃねーぞ!!

@tenapi

ミチエルスキの1964年の論文によると、フォンノイマンの1928年の論文で、正の実数をある代数的独立な集合の上に一対一順序保存でうつす函数が具体的に与えられているそうで、とすると、単射 R → R/Q の存在には選択公理は不要。

@tenapi

標準全射 R → R/Q と単射 R/Q → [0, 1] を合成すると有界で周期的な実函数が得られる。それが可測函数と仮定し周期1の函数としてフーリエ級数展開すると、すべての周期成分が消えて「ほとんどいたるところ定数函数」となり、同じ値を高々可算回しかとらないことに矛盾。

@tenapi

したがって単射 R/Q → R の存在からルベーグ不可測函数の存在が導かれる。ルベーグ不可測函数の存在は ZF+DC で証明できないので、ZF+DC では単射 R/Q → R の存在は導かれない。 (Ref: http://t.co/l7IvtWd7)

@tenapi

さっきのフォンノイマンの話、x > 0 のとき 2^( 2^( [nx] ) - 2^(x^2) ) の n = 1, 2,… にわたる総和を f(x) とすると f: (0,+∞) → R は単射で、集合 { f(x) : 0 < x < ∞ } が代数的独立なのだとか。

@tenapi

どうやって思い付いたのやら。さすがフォンノイマン。